§ 7. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ

В § 8 гл. III построены решения задачи Штурма-Лиувилля для отрезка, прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда. Собственные функции этих областей выражаются через элементарные функции. В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля для круга, прямого кругового цилиндра и шара, собственные функции которых выражаются через специальные функции, изученные в этой главе.

1. Собственные функции круга

Начнем с задачи Штурма-Лиувилля для круга

Введем полярную систему координат с началом в центре круга Напомним, что оператор Лапласа в полярной системе координат равен

Собственную функцию будем искать в виде

Уравнение (7.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (7.3) и разделим переменные. Получим

Поскольку собственная функция должна быть периодической по с периодом то для получаем задачу Штурма-Лиувилля

решение которой имеет вид (см. § 8 гл. III)

При каждом получаем задачу для

Функция должна удовлетворять граничному условию

вытекающему из (7.2), и естественному условию ограниченности при

поскольку является особой точкой уравнения (7.6). Следовательно, для определения получается задача Штурма—Лиувилля

Уравнение (7.7) заменой приводится к уравнению Бесселя порядка:

Поэтому общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде

Учитывая неограниченность функции при и условие (7.9), находим Будем считать поскольку ственная функция определяется с точностью до числового множителя, который в свою очередь определяется из условия нормировки. Поэтому собственная функция задачи (7.7) — (7.9) имеет вид

Подставляя (7.10) в граничное условие (7.8), получим дисперсионное уравнение для определения собственных значений X:

где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим Тогда собственные функции и собственные значения задачи (7.7) — (7.9) можно записать в виде

где корень уравнения

при фиксированном

Таким образом, собственные функции круга имеют вид

а собственные значения равны Найдем норму собственной функции (7.14):

Поскольку норма или известна, остается найти

Чтобы найти вычислим интеграл

где — произвольная цилиндрическая функция. Имеем

Используя уравнение Бесселя

находим

Поэтому

Итак,

Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функции Бесселя для соответствующей краевой задачи:

Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно.

Для задачи Дирихле собственные значения определяются из уравнения (согласно (7.13))

Следовательно,

Для задачи Неймана собственные значения определяются из уравнения

Следовательно,

Для третьей краевой задачи собственные значения определяются из уравнения

Следовательно,

Формула (7.20) удобна для вычисления при малых а формула при больших Непосредственно видно, что при формула (7.20) переходит в (7.19), а при переходит в (7.18).