§ 8. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ

1. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода

Рассмотрим применение формулы Даламбера к решению задачи на полуограниченной прямой в случае граничных условий первого и второго рода. Докажем следующую лемму.

Лемма 7.1. Если в задаче Коши (7.3), (7.4) начальные функции нечетны, то функция представимая формулой Даламбера (7.10), обращается в нуль при если же функции четны, то производная по х от функции и обращается в нуль при

Доказательство. Положив в формуле Даламбера получим

Продифференцировав формулу Даламбера по х и положив получим

поскольку ироизводная четной функции есть функция нечетная.

Замечание. Подчеркнем, что утверждение леммы справедливо для любых функций представимых формулой Даламбера, а не только для классических решений задачи Коши (7.3), (7.4).

Рассмотрим на полупрямой начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Дирихле:

Продолжим функции нечетным образом на всю бесконечную прямую:

Тогда функция

при является решением задачи (8.1) — (8.3).

В самом деле, функция (8.5), очевидно, удовлетворяет однородному волновому уравнению, краевому условию она удовлетворяет в силу доказанной леммы. Выполнение начальных условий проверяется непосредственно.

Перепишем формулу (8.5), выражая функции и через функции и по формуле (8.4). Если выполнены неравенства то Если то Поэтому формула (8.5) принимает вид

Замечание 1. Отметим, что при возмущение, вышедшее из точки х в момент не успевает достичь границы, влияние граничного условия не сказывается на характере решения и формула (8.6) совпадает с формулой Даламбера. При возникает отраженная от границы волна, которая, интерферируя с определенными начальными условиями бегущими волнами, формирует решение.

Замечание 2. В зависимости от гладкости начальных функций функция определяемая формулой (8.6), может представлять как классическое, так и менее гладкое решение. В случае, если функция представляет классическое решение, функции кроме условий гладкости должны также удовлетворять условию согласования начальных и граничного условий Соответственно нужно доопределить нулем при и функции в формулах (8.4).

Рассмотрим теперь на полупрямой начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Неймана:

Продолжая начальные функции четным образом:

запишем решение задачи (8.7) — (8.9) через функции с помощью формулы Даламбера при

Используя (8.10), формулу (8.11) можно переписать в терминах функций следующим образом:

При этом граничное условие (8.9) удовлетворяется в силу доказанной леммы.

Отметим, что для решения задачи (8.7) — (8.9) остаются в силе замечания 1 и 2, сделанные по поводу решения задачи (8.1) -(8.3).

2. Распространение краевого режима

Рассмотрим начально-краевую задачу на полупрямой для однородного уравнения колебаний с однородными начальными и неоднородным граничным условиями:

где вещественный постоянный коэффициент.

Поскольку в силу однородности уравнения (8.13) и начальных условий (8.14) единственной причиной возмущения является определяемый функцией краевой режим, то решение будем искать в виде правой бегущей волны

где некоторая достаточно гладкая функция. Для определения вида функции воспользуемся начальными (8.14) и граничными (8.15) условиями. Из первого начального условия получим

Тогда второе начальное условие также выполняется:

Граничное условие (8.15) позволяет доопределить функцию на отрицательной полуоси:

Следовательно, обозначая аргумент функции через , получим

и, подставляя окончательно имеем

Замечание 1. При влияние граничного условия не сказывается, и возмущение равно нулю. При возмущение формируется граничным режимом.

Замечание 2. В зависимости от гладкости граничной функции формула (8.16) представляет классическое или менее гладкое решение задачи случае, если формула (8.16) представляет собой классическое решение, функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема на и удовлетворять условию согласования начального и граничного условий

Аналогичным образом легко показать, что если решение третьей краевой задачи

с нулевыми начальными условиями искать в виде правой бегущей волны то для функции при получается задача Коши

Решив эту задачу, получим для при выражение

справедливое и при т. е. в случае второй краевой задачи.