5. Солитонные решения
Рассмотрим простейший пример построения решения задачи Коши (12.26) для уравнения Кортевега—де Фриза на основе метода обратной задачи.
Пусть 
Рассмотрим уравнение
и найдем данные рассеяния для этого потенциала 
Оказывается, что коэффициент отражения 
и существует лишь одно собственное значение 
причем 
Ядро уравнения Гельфанда-Левитана (12.23) для таких данных имеет вид
Рассмотрим уравнение Гельфанда-Левитана с этим ядром:
Разыскивая решение уравнения (12.30) в виде 
найдем
и тем самым
Отсюда согласно формуле (12.25) получим
— решение задачи Коши (12.26) с начальной функцией 
Полученное решение (12.33) является частным случаем более общего решения уравнения Кортевега — де Фриза, имеющего вид
Решение (12.33) получим из (12.34), тогда параметры а и 
равны: 
Решения уравнения Кортевега — де Фриза вида (12.34) получили название солитонов. Они описывают бегущие волны неизменной формы, имеющие скорость, прямо пропорциональную амплитуде решения. Специфика этих решений проявляется в характере их взаимодействия, которое мы сейчас опишем на качественном уровне.
Пусть мы имеем два решения 
вида (12.34), находящихся на далеком расстоянии друг от друга (т. е. 
положительна и велика), и пусть 
Тогда эти солитоны практически не взаимодействуют и распространяются независимо друг от друга. Однако со временем солитон 
имеющий большую скорость распространения 
настигнет солитон 
и произойдет их нелинейное взаимодействие. Замечательным оказывается то, что после взаимодействия солитоны 
разойдутся, не изменив своей формы, причем теперь солитон их будет двигаться впереди солитона 
Единственным результатом взаимодействия оказывается то, что солитоны приобретают «скачки фаз», т. е. величины 
получают приращения 
причем 
Тем самым солитон их «прыгает» вперед (вправо) на 
а солитон 
получает «отдачу» назад на величину 
Эти частицеподобные свойства, проявляющиеся во взаимодействии, обусловили название солитонов и тот огромный интерес, который проявляется к их изучению.
В связи со сказанным попытаемся дать определение солитонов как решений нелинейных уравнений.
Будем называть солитонами такие решения нелинейных уравнений, которые имеют вид бегущих уединенных волн, взаимодействующих таким образом, что после взаимодействия они сохраняют неизменной свою форму, получая лишь приращение в фазах.
