3. Фундаментальное решение. Интеграл Пуассона

Для решения задачи (7.1), (7.2) применим метод разделения переменных. Сначала найдем нетривиальное ограниченное решение однородного уравнения

представимое в виде произведения

Подставляя в (7.7), получим

где X — параметр разделения. Отсюда для функции получим уравнение

а для функции — следующую задачу на собственные значения:

где некоторая постоянная.

Общее решение уравнения (7.8) имеет вид

где А — некоторая постоянная, и из ограниченности решения следует а общее решение задачи (7.9), (7.10) записывается в виде

где некоторые постоянные и Отсюда следует, что X — вещественное и

Положим для удобства и предположим, что параметр меняется непрерывным образом от до Тогда ограниченные решения задачи (7.9), (7.10) имеют вид

Отметим, что спектр задачи (7.9), (7.10) непрерывный.

Из уравнения (7.8) получим

и, окончательно, функция представима в виде

Построим теперь решение задачи Коши (7.7), (7.2) как суперпозицию частных ограниченных решений уравнения (7.7). При этом, поскольку параметр меняется непрерывным образом, вместо суммы нужно взять интеграл

Если этот несобственный интеграл, зависящий от параметров сходится при к непрерывной функции и существуют ее частные производные, входящие в уравнение (7.7), которые можно вычислить путем дифференцирования под знаком интеграла (7.11), то функция представимая в виде интеграла (7.11), удовлетворяет уравнению (7.7). Чтобы функция удовлетворяла начальному условию (7.2), должно выполняться соотношение

из которого определяется функция Это соотношение, очевидно, представляет собой разложение заданной функции в интеграл Фурье.

Используя формулу обратного преобразования Фурье, получим

Подставим формулу (7.12) в (7.11) и поменяем порядок интегрирования. В результате получим

Обозначим внутренний интеграл в правой части формулы (7.13) следующим образом:

Вычислим интеграл в правой части формулы (7.14). Рассмотрим интеграл

Продифференцируем интеграл по параметру и проинтегрируем по частям:

В результате для функции получается дифференциальное уравнение первого порядка

общее решение которого имеет вид

Определимгпостоянную С из соотношения

и окончательно получим

Сравнивая формулы (7.14) и (7.15) и полагая имеем

Определение. Функцию , определяемую формулой (7.16), будем называть фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае.

Из формулы (7.13) вытекает, что формальное решение задачи Коши (7.7), (7.2), (7.3) представляется формулой

Представление решения задачи Коши в виде интеграла (7.17) обычно называют интегралом Пуассона.