§ 10. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим начальную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве:

где трехмерный оператор Лапласа, а области определяются следующим образом-:

Определение. Фундаментальным решением задачи Коши для уравнения теплопроводности

называется такое его решение в области которое:

1) удовлетворяет начальному условию

2) непрерывно всюду в замкнутой области кроме точки т. е. при

Для построения фундаментального решения докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 6.3. Если в задаче Коши

начальная функция представима в виде

то решением задачи (10.6), (10.7) является функция

где - решения соответствующих одномерных задач Коши:

Доказательство. Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (10.6). Имеем с учетом (10.8)

Удовлетворение начальному условию (10.7) очевидно, поскольку

В трехмерном случае дельта-функцию можно представить в виде произведения трех одномерных дельта-функций:

где точка имеет координаты а точка координаты . Поэтому, применяя лемму к задаче (10.4), (10.5), получим

или, используя формулу (7.16) для фундаментального решения в одномерном случае, имеем

Функция с физической точки зрения представляет собой температуру в точке трехмерного пространства в момент времени при мгновенном возбуждении точечным источником тепла мощности в точке в момент времени Поэтому функция называется также функцией влияния мгновенного точечного теплового источника.

Из формулы (10.9) следует, что функция симметрична по переменным

это является математическим выражением принципа взаимности. Заметим, что относительно переменной такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени.

С помощью функции решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

выражается формулой, аналогичной формуле (7.17):

или, в более краткой записи,

Интеграл (10.10) обычно называют интегралом Пуассона.

Заметим, что формулу (10.10) можно получить и непосредственно, применяя к искомому решению задачи (10.6), (10.7) трехмерное преобразование Фурье. При этом для функции получим представление (10.9).

Имеет место теорема существования, аналогичная теореме 6.9 для одномерного случая.

Теорема 6.12. Если функция непрерывна и ограничена во всем трехмерном пространстве то формула (10.10) определяет при классическое решение задачи (10.1), (10.2) при

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы в одномерном случае. Заметим, что так же, как и в одномерном случае, можно доказать, что в случае кусочно-непрерывной и ограниченной функции интеграл Пуассона (10.10) является решением однородного уравнения теплопроводности, непрерывно примыкающим к функции в точках ее непрерывности.

Решение задачи Коши (10.1), (10.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием выражается формулой

Формулу (10.11) аналогично одномерному случаю на

физическом уровне строгости можно получить, применяя принцип суперпозиции и строго используя метод интегрального преобразования Фурье.

В силу линейности задачи (10.1), (10.2) ее решение представляется формулой

Замечание. Аналогично рассматривается задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности в пространстве В частности, используя лемму, аналогичную лемме 6.2, легко доказать, что фундаментальное решение выражается формулой

где точка с координатами точка с координатами

Теоремы существования и формулы, выражающие решение задачи Коши в двумерном случае, полностью аналогичны соответствующим теоремам и формулам трехмерного случая.