11. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Функции Инфельда и Макдональда

Рассмотрим цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Подставим в ряд (2.16) для функции Бесселя аргумент

Определение. Функция

называется функцией Инфельда.

В частности, при получим

Из формулы для видно, что функция Инфельда вещественная монотонно возрастающая функция, имеющая при нуль порядка.

Получим асимптотику функции Инфельда при используя асимптотику функции Ханкеля:

Итак, асимптотика функции Инфельда имеет вид

Аналогично вводится функция Функции при нецелом линейно независимы, так как в точке имеет нуль порядка, а функция порядка. При целом получим

Уравнение для цилиндрических функций мнимого аргумента несложно получить из уравнения Бесселя, положив аргумент равным

Наряду с функцией Инфельда широко используется функция Макдональда порядка которая вводится с помощью функции Ханкеля следующим образом:

Покажем, что функция Макдональда является вещественной функцией вещественного аргумента х. Пусть нецелое число. Тогда, учитывая формулу (2.42), получим

Пусть теперь целое число. Тогда, переходя в формуле (2.62) к пределу при и раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Таким образом, функция Макдональда является вещественной при любом

Пользуясь асимптотикой функции Ханкеля первого рода, получим асимптотику функции Макдональда при

Из формул (2.60) и (2.63) следует, что при функция экспоненциально возрастает, а функция экспоненциально убывает. Таким образом, функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.61). Общее решение уравнения (2.61) можно записать в виде

где произвольные постоянные. В частности, если решение ограничено на бесконечности, нужно положить а если решение ограничено в нуле, то положить

Поскольку функции линейно независимы и функция ограничена в нуле при и имеет в нуле ноль порядка при то в силу леммы 4.1 получаем, что имеет при в нуле логарифмическую особенность, а при полюс порядка. В частности, асимптотика в нуле функции имеет вид

Из рекуррентных формул для цилиндрических функций (2.19),

(2.20) несложно получить рекуррентные формулы для цилиндрических функций мнимого аргумента:

В частности,