§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Теперь выясним, как нужно вводить новые переменные чтобы уравнение (1.1) приняло наиболее простой вид. Будем считать, что уравнение (1.1) принадлежит определенному типу во всей области и коэффициенты одновременно в нуль не обращаются. В противном случае уравнение (1.1) содержит только одну старшую производную и уже имеет простейший вид. Для определенности считаем, что

Из соотношения (1.5) видно, что, для того чтобы нужно в качестве функции взять решение уравнения

Уравнение (2.1) называется характеристическим уравнением для уравнения (1.1). Разрешая (2.1) относительно можно его переписать в виде

где корни уравнения

Они равны

Следовательно, уравнение (2.1) эквивалентно двум линейным уравнениям в частных производных первого порядка:

Как известно, для построения общего решения линейного уравнения в частных производных первого порядка достаточно найти интеграл соответствующего характеристического уравнения. Для уравнений (2.2) и (2.3) характеристическими уравнениями являются уравнения

Уравнения (2.4) называются уравнениями характеристик для уравнения (1.1), а их решения — характеристиками. Таким образом, если является интегралом уравнения (2.4), то функция есть Рещение уравнения (2.1). Рассмотрим теперь каждый тип уравнения отдельно.

Пусть в области уравнение (1.1) является уравнением гиперболического типа, т. е. всюду в Тогда всюду в области и действительны. Никакие две характеристики из разных семейств

не касаются друг друга. Эти два семейства образуют криволинейную координатную сетку. Выбрав где определены из (2.5), получим

Следовательно, уравнение (1.4) после деления на принимает вид

Форма уравнения (2.6) называется канонической формой уравнения гиперболического типа. Часто используется и другая каноническая форма, которую можно получить заменой

В этом случае уравнение имеет вид

Пусть в области уравнение (1.1) есть уравнение эллиптического типа, т. е. Тогда уравнения

характеристик (2.4) при действительных коэффициентах имеют комплексно-сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными. Считая, что коэффициенты определены в комплексной области и аналитичны и делая формальную замену

где и комплексно-сопряженные интегралы (2.4), получим уравнение

в комплексной области. Если сделать еще одну замену

уравнение (2.8) примет вид

уже в действительной области. Уравнение (2.9) есть канонический вид уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим, наконец, уравнение параболического типа в области В этом случае существует только одно уравнение характеристик

Пусть его интеграл. Возьмем произвольную дважды дифференцируемую функцию такую, чтобы

Тогда при замене коэффициент в силу (2.1) и так как Коэффициент так как в противном случае будет не выполняться (2.10). Следовательно, уравнение (1.4) принимает вид

Уравнение (2.11) представляет собой каноническую форму уравнения параболического типа.

Итак, в случае двух независимых переменных существуют только три различных типа уравнений в частных производных второго порядка, канонические формы которых имеют следующий вид:

а) для уравнения гиперболического типа:

или

б) для уравнения параболического типа:

При этом в правой части уравнения — функции обязательно должна присутствовать первая частная производная по независимой переменной вторая частная производная по которой в уравнении отсутствует. В противном случае исходное уравнение в частных производных вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной в котором переменная играет роль параметра;

в) для уравнения эллиптического типа:

Как следует из рассмотренных в гл. I примеров, если трактовать переменную как временную переменную то уравнения гиперболического типа в случае двух независимых переменных являются математической моделью процессов пространственноодномерных колебаний любой физической природы, а уравнения параболического типа описывают процессы переноса. Если в уравнении эллиптического типа обе независимые переменные играют роль пространственных переменных, то это уравнение служит математической моделью стационарных процессов и, в частности, установившихся колебаний.

Отметим еще раз, что приведенная классификация справедлива во всей области где уравнение сохраняет определенный тип.