2. Формула Кирхгофа

В этом пункте получим интегральное соотношение, аналогичное третьей формуле Грина для уравнения эллиптического типа и связывающее значения решения уравнения (9.1) в произвольной точке в момент времени со значениями этого решения и его производных на замкнутой поверхности охватывающей точку в предыдущие моменты времени. Запаздывание во времени влияния данных на поверхности связано с тем, что уравнение колебаний описывает процессы с конечной скоростью распространения сигналов (явление близкодействия): возмущение, возникшее в точке в момент времени сказывается в точке не мгновенно, а через промежуток времени одномерном случае при рассмотрении явлений на фазовой плоскости областью влияния является характеристический треугольник, образованный характеристиками проходящими через точку Аналогично в трехмерном и двумерном случаях областью влияния является характеристический конус с вершиной в точке На рис. 7.8 для наглядности приведем чертеж для двумерного случая.

Множество точек определяемое условиями

называется нижним характеристическим конусом точки и определяет те точки из которых возмущение, вышедшее в момент времени предшествующий в момент доходит до точки

Множество точек определяемых условиями

составляет верхний характеристический конус точки .

Возмущение (сигнал), вышедшее из точки в момент доходит до точки верхнего характеристического конуса в момент времени

Для вывода интегрального соотношения сделаем замену независимых переменных, вводя локальное (местное) время точки по формуле

Рис. 7.8

Очевидно, для точки Введем сферическую систему координат с центром в точке Тогда в переменных для функции и имеет место задача (9.1), (9.2), где А — оператор Лапласа в сферической системе координат с началом в точке

Перейдем в уравнении (9.1) к новым переменным определяемому по формуле (9.9), сохраняя для пространственных переменных прежние нештрихованные обозначения. Обозначим

и пересчитаем производные

Подставляя формулы (9.10) в уравнение (9.1), получим

где

а

— угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат.

Формулу (9.11) запишем следующим образом:

Предполагая существование решения уравнения (9.1), формулу (9.12) можно рассматривать как уравнение Пуассона, правая часть которого является функцией параметра Используя третью формулу Грина (см. формулу (1.7) гл. V), выразим решение уравнения (9.12) в точке через значения решения и его нормальной производной на произвольной гладкой замкнутой поверхности содержащей точку внутри, и значения правой части уравнения (9.12) в области ограниченной поверхностью

где производная по внешней нормали.

Объемный интеграл, стоящий в правой части формулы (9.13), является несобственным интегралом второго рода:

где К — шар радиуса с центром в точке Преобразуем этот интеграл. Так как

то, используя первую формулу Грина, получаем

где сфера радиуса с центром в точке В области На поверхности

Следовательно,

Поэтому, переходя в (9.14) к пределу при имеем

Подставляя (9.15) в (9.13), получим

Вернемся в формуле (9.16) к первоначальным переменным, учитывая, что при Поскольку

откуда

то, подставляя (9.17) в (9.16), окончательно получим

Формула (9.18) является искомым интегральным соотношением. Она называется формулой Кирхгофа.