Глава IV. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа могут быть найдены аналитически только для очень небольшого числа областей. В самых простых случаях (отрезок, прямоугольник, прямоугольный параллелепипед) они выражаются через элементарные функции, что показано в § 8 гл. III. Для некоторых областей (круг, круговой цилиндр, шар и другие области) собственные функции выражаются через так называемые специальные функции. В этой главе будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся специальные функции — цилиндрические функции, классические ортогональные полиномы, присоединенные функции Лежандра, сферические функции, шаровые функции.

§ 1. УРАВНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ЕГО РЕШЕНИЙ

Специальные функции одной переменной, которые будут изучены в этой главе, являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения

где оператор имеет вид

Предположим, что коэффициент удовлетворяет следующим условиям:

где непрерывная на отрезке функция и т. е. коэффициент имеет в точке нуль первого порядка.

Таким образом, точка в которой коэффициент при старшей производной уравнения (1.1) обращается в нуль, является особой точкой этого уравнения.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 4.1. Пусть два линейно независимых решения уравнения (1.1), коэффициент которого удовлетворяет условиям (1.2). Тогда, если ограниченное решение, имеющее конечный предел в точке то второе решение при является неограниченным. Причем если то имеет в точке логарифмическую особенность, а если их имеет в точке нуль порядка, то функция имеет при полюс порядка.

Доказательство. Пусть их ограниченное решение уравнения (1.1), представимое в виде

где непрерывная на отрезке функция, причем Функция ограничена в точке при и имеет в этой точке нуль порядка при Представим линейно независимое решение в виде квадратуры через функцию Очевидно откуда вытекает, что определитель Вронского, построенный на решениях имеет вид

где постоянная С не равна нулю, так как по условию решения линейно независимы.

Поделив обе части формулы (1.4) на получим

Проинтегрируем последнее уравнение в пределах от до х:

Нас интересует поведение решения, линейно независимого от Поэтому постоянную можно положить равной нулю, так как слагаемое линейно связанное с ведет себя так же, как функция Кроме того, поскольку уравнение (1.1) является однородным, то функции определяются с точностью до произвольного постоянного множителя и можно положить . Выберем, наконец, так, чтобы функция не обращалась в нуль на отрезке Это, очевидно, возможно, поскольку непрерывна на отрезке

В результате, сохраняя для решения, линейно независимого с обозначение получим

Подставим (1.2) и (1.3) в интеграл ( обозначим

При нашем выборе функция отлична от нуля на отрезке Воспользовавшись теоремой о среднем, получим для

где Таким образом,

где

и

Из последних формул следует, что функция остается ограниченной при а функция при неограниченно возрастает либо как либо как что и доказывает лемму.