Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава IV. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа могут быть найдены аналитически только для очень небольшого числа областей. В самых простых случаях (отрезок, прямоугольник, прямоугольный параллелепипед) они выражаются через элементарные функции, что показано в § 8 гл. III. Для некоторых областей (круг, круговой цилиндр, шар и другие области) собственные функции выражаются через так называемые специальные функции. В этой главе будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся специальные функции — цилиндрические функции, классические ортогональные полиномы, присоединенные функции Лежандра, сферические функции, шаровые функции.

§ 1. УРАВНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ЕГО РЕШЕНИЙ

Специальные функции одной переменной, которые будут изучены в этой главе, являются решениями обыкновенного дифференциального уравнения

где оператор имеет вид

Предположим, что коэффициент удовлетворяет следующим условиям:

где непрерывная на отрезке функция и т. е. коэффициент имеет в точке нуль первого порядка.

Таким образом, точка в которой коэффициент при старшей производной уравнения (1.1) обращается в нуль, является особой точкой этого уравнения.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 4.1. Пусть два линейно независимых решения уравнения (1.1), коэффициент которого удовлетворяет условиям (1.2). Тогда, если ограниченное решение, имеющее конечный предел в точке то второе решение при является неограниченным. Причем если то имеет в точке логарифмическую особенность, а если их имеет в точке нуль порядка, то функция имеет при полюс порядка.

Доказательство. Пусть их ограниченное решение уравнения (1.1), представимое в виде

где непрерывная на отрезке функция, причем Функция ограничена в точке при и имеет в этой точке нуль порядка при Представим линейно независимое решение в виде квадратуры через функцию Очевидно откуда вытекает, что определитель Вронского, построенный на решениях имеет вид

где постоянная С не равна нулю, так как по условию решения линейно независимы.

Поделив обе части формулы (1.4) на получим

Проинтегрируем последнее уравнение в пределах от до х:

Нас интересует поведение решения, линейно независимого от Поэтому постоянную можно положить равной нулю, так как слагаемое линейно связанное с ведет себя так же, как функция Кроме того, поскольку уравнение (1.1) является однородным, то функции определяются с точностью до произвольного постоянного множителя и можно положить . Выберем, наконец, так, чтобы функция не обращалась в нуль на отрезке Это, очевидно, возможно, поскольку непрерывна на отрезке

В результате, сохраняя для решения, линейно независимого с обозначение получим

Подставим (1.2) и (1.3) в интеграл ( обозначим

При нашем выборе функция отлична от нуля на отрезке Воспользовавшись теоремой о среднем, получим для

где Таким образом,

где

и

Из последних формул следует, что функция остается ограниченной при а функция при неограниченно возрастает либо как либо как что и доказывает лемму.

1
Оглавление
email@scask.ru