Глава VI. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения в частных производных второго порядка параболического типа наиболее часто встречаются при рассмотрении процессов тепло- и массопереноса. В то же время при определенных условиях уравнения параболического типа используются для описания электромагнитных и других волновых процессов (приближение параболического уравнения). В настоящей главе изучаются основные свойства уравнения параболического типа, для которого ставятся начально-краевая задача и задача Коши.

§ 1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

В § 2 гл. I было получено уравнение теплопроводности и поставлена начально-краевая задача, описывающая процесс распространения тепла в области Уравнение теплопроводности является типичным уравнением параболического типа.

Введем следующие определения. Назовем -мерным открытым цилиндром область вида

Область

назовем замкнутым -мерным цилиндром,

Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в случае трех пространственных переменных ставится следующим образом:

где - плотность, с - удельная теплоемкость, - коэффициент теплопроводности, причем

Напомним (см. гл. I), что задача (1.1) — (1.3) описывает не только процессы распространения тепла, но и явления диффузии, а также процессы распространения волн в приближении параболического уравнения и ряд других физических процессов.

Определение. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) называется функция непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре имеющая непрерывные производные первого порядка по и второго порядка по в открытом цилиндре удовлетворяющая в уравнению (1.1), начальному условию (1.2) и граничному условию (1.3).

Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) является условие согласования начального (1.2) и граничного (1.3) условий:

В дальнейшем будут приведены достаточные условия гладкости коэффициентов уравнения и функций , при которых существует классическое решение задачи