§ 10. ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ (ЗАДАЧА ГУРСА)

В § 7 явное аналитическое выражение решения задачи с начальными условиями для уравнения колебаний на бесконечной прямой было получено методом интегрирования по фазовой плоскости. Этот метод оказывается удобным и в ряде других задач, в частности для решения простейших задач с дополнительными данными, заданными на характеристиках.

Начнем с решения простейшей задачи, заключающейся в определении для решения неоднородного уравнения

с заданной правой частью и дополнительными условиями:

Так как прямые являются характеристиками уравнения (10.1), то задача (10.1) — (10.3) называется задачей с данными на характеристиках, или задачей Гурса. Существование и единственность решения задачи (10 1) — (10.3) будет следовать из дальнейших рассмотрений

Пусть решение задачи (10.1) — (10.3) существует. Получим его явное представление через входные данные.

Для определения решения задачи (10.1) — (10.3) в произвольной точке проинтегрируем (10.1) по прямоугольнику Интеграл от левой части уравнения (10.1) с учетом дополнительных условий (10.2) дает

откуда и получается явное аналитическое выражение для решения задачи (10.1) — (10.3) через входные данные — функции

В предположении существования решения задачи (10.1) — (10.3) формула (10.4), так же как и формула Даламбера (6.10), доказывает единственность решения этой задачи.

Для доказательства существования решения можно воспользоваться прямой проверкой, из которой следует, что при условии дифференцируемости функций условии согласования входных данных и непрерывности функции формула (10.4) определяет функцию, удовлетворяющую всем условиям задачи.

Итак, простейшая задача с данными на характеристиках решается достаточно просто.

Значительно сложнее обстоит дело в случае уравнения более общего вида. Даже для линейного уравнения

где гладкие функции в общем случае не удается получить явного аналитического представления решения, и при решении практических задач необходимо использовать различные методы построения приближенных решений.

Рассмотрим общую задачу:

Перенеся все члены уравнения (10.5), кроме первого, в правую часть и обозначив

можно формально рассматривать полученное уравнение, так же как и уравнение (10.1), и записать его формальное решение в следующем виде:

где

Если ввести интегродифференциальный оператор А по формуле

то уравнение (10.8) можно записать так:

Уравнение (10.9) является интегродифференциальным уравнением Вольтерра.

Одним из способов приближенного построения решения уравнения (10.9) является метод последовательных приближений, когда каждое последующее приближение строится по предыдущему согласно формуле

Выберем в качестве нулевого приближения функцию Тогда, реализуя схему (10.10), получим

Заметим, что из формул (10.11) вытекают следующие соотношения:

Покажем, что последовательности

сходятся равномерно.

Рассмотрим разность двух последовательных итераций Из формул (10.11), (10.12) следует, что

Предположим, что в некотором квадрате выполнены неравенства

где некоторые постоянные. Очевидно, при соответствующих условиях на входные данные условия (10.14) на будут выполнены.

Из формул (10.13) и (10.14) следуют мажорантные оценки:

По индукции легко доказать, что для любого 1 имеют место следующие оценки:

где Учитывая, что точки лежат внутри квадрата со стороной из последних неравенств вытекают окончательные неравенства:

В правых частях неравенств (10.15) с точностью до множителей пропорциональности стоят общие члены разложения

экспоненты Следовательно, последовательности функций

равномерно сходятся к предельным функциям, которые обозначим через

Перейдем в формулах (10.11) и (10.12) к пределу при В результате будем иметь

откуда следует, что и функция удовлетворяет интегродифференциальному уравнению Вольтерра (10.9). Непосредственным дифференцированием уравнения (10.9) по х и у устанавливается, что функция удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (10.5). Удовлетворение условиям (10.6) следует из формул (10.7), (10.11) и вида функции

Докажем теперь единственность решения задачи (10.5) — (10.7). Пусть существуют два различных решения задачи (10.5) — Рассмотрим их разность Функция удовлетворяет однородному интегродифференциальному уравнению Вольтерра

На основании оценок (10.14) легко показать справедливость оценки:

где некоторая постоянная. Тогда, аналогично тому, как были получены оценки для для любого можно построить следующую оценку при

Из формулы (10.17) следует, что

что и доказывает единственность решения задачи (10.5) — (10.7).