4. Полиномы Якоби
Пусть 
(к этому случаю, очевидно, приводятся все конечные интервалы).
Тогда по формуле (3.4)
и для линейной функции 
в в силу (3.5) получим
Поскольку
то
где
Выражая из последней формулы коэффициенты 
через 
получим линейную функцию 
в следующем виде:
Заметим, что условие (3.2) будет выполняться, если постоянные 
удовлетворяют условиям 
Определение. Классические ортогональные полиномы, заданные на отрезке 
и ортогональные на нем с весом 
называются полиномами Якоби и обозначаются 
Для полиномов Якоби нормировочный множитель выбирается в виде
Тогда получаем явное выражение полиномов Якоби с помощью формулы Родрига (3.16):
Из формулы Родрига несложно получить полезную формулу дифференцирования для полиномов Якоби
Используя формулу (3.12), запишем задачу Штурма-Лиувилля для полиномов Якоби
Полиномы Якоби являются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля (3.26), отвечающие собственным значениям 
имеющим в силу формулы (3.13) следующий вид:
Поскольку система полиномов Якоби задана на конечном интервале 
то в силу теоремы Вейерштрасса она является полной, а следовательно, замкнутой и исчерпывает все собственные функции задачи (3.26).
Выражение для квадрата нормы полиномов Якоби имеет следующий вид:
Оно может быть получено из общей формулы (3.17).
Замечание. С полиномами Якоби тесно связаны полиномы Чебышева первого рода 
и полиномы Чебышева второго рода 
Полиномы Чебышева первого рода определяются через полиномы Якоби при 
следующим образом:
Они образуют на отрезке 
систему классических ортогональных полиномов, ортогональных с весом 
Для полиномов Чебышева первого рода 
имеют место соотношения
Полиномы Чебышева второго рода определяются через полиномы Якоби 
по формуле
Между полиномами Чебышева первого и второго рода существует следующая связь:
Полиномы Чебышева первого и второго рода находят широкое применение, в частности в вычислительной математике.
