Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Полиномы Якоби

Пусть (к этому случаю, очевидно, приводятся все конечные интервалы).

Тогда по формуле (3.4)

и для линейной функции в в силу (3.5) получим

Поскольку

то

где

Выражая из последней формулы коэффициенты через получим линейную функцию в следующем виде:

Заметим, что условие (3.2) будет выполняться, если постоянные удовлетворяют условиям

Определение. Классические ортогональные полиномы, заданные на отрезке и ортогональные на нем с весом называются полиномами Якоби и обозначаются

Для полиномов Якоби нормировочный множитель выбирается в виде

Тогда получаем явное выражение полиномов Якоби с помощью формулы Родрига (3.16):

Из формулы Родрига несложно получить полезную формулу дифференцирования для полиномов Якоби

Используя формулу (3.12), запишем задачу Штурма-Лиувилля для полиномов Якоби

Полиномы Якоби являются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля (3.26), отвечающие собственным значениям имеющим в силу формулы (3.13) следующий вид:

Поскольку система полиномов Якоби задана на конечном интервале то в силу теоремы Вейерштрасса она является полной, а следовательно, замкнутой и исчерпывает все собственные функции задачи (3.26).

Выражение для квадрата нормы полиномов Якоби имеет следующий вид:

Оно может быть получено из общей формулы (3.17).

Замечание. С полиномами Якоби тесно связаны полиномы Чебышева первого рода и полиномы Чебышева второго рода

Полиномы Чебышева первого рода определяются через полиномы Якоби при следующим образом:

Они образуют на отрезке систему классических ортогональных полиномов, ортогональных с весом Для полиномов Чебышева первого рода имеют место соотношения

Полиномы Чебышева второго рода определяются через полиномы Якоби по формуле

Между полиномами Чебышева первого и второго рода существует следующая связь:

Полиномы Чебышева первого и второго рода находят широкое применение, в частности в вычислительной математике.

1
Оглавление
email@scask.ru