§ 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Перейдем теперь к изучению специальных функций от нескольких переменных. Начнем со сферических функций. Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля на единичной сфере:
где 
угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат, имеющая вид
Определение. Ограниченные на единичной сфере решения уравнения (5.1), удовлетворяющие условию периодичности по 
и обладающие непрерывными производными до второго порядка, называются сферическими функциями.
Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать методом разделения переменных
Подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим для 
задачу
которая имеет нетривиальное решение при 
вида
Для функции 
получаем задачу
Если сделать замену 
и 
то задача (5.6) принимает вид
Сравнивая (5.7) с (4.6), мы видим, что задача (5.7) является задачей Штурма-Лиувилля для присоединенных функций Лежандра. Поэтому собственные значения имеют вид
а собственные функции
причем 
Выпишем систему сферических функций 
порядка:
Собственные функции задачи (5.5) можно записать в тригонометрическом виде:
В этом случае систему сферических функций, условившись, что положительный верхний индекс 
функции 
соответствует умножению на 
а отрицательный — на 
можно записать в виде
Учитывая полноту системы тригонометрических функций и системы присоединенных функций Лежандра, можно утверждать справедливость следующей теоремы.
Теорема 4.7. Система сферических функций полна на единичной сфере 
Поскольку в силу общих свойств собственных функций сферические функции ортогональны на единичной сфере (для функций вида 
то из теоремы 4.7 вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Система сферических функций замкнута. Следствие 2. Система сферических функций исчерпывает все собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (5.1) - (5.3). Каждому собственному значению 
соответствует 
линейно независимых собственных функций, т. е. каждое собственное значение является 
-кратно вырожденным.
Для сферических функций справедлива теорема разложимости Стеклова.
Теорема 4.8. Всякая функция 
дважды непрерывно дифференцируемая на единичной сфере, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям:
где коэффициенты 
имеют вид (для функций вида (5.9))
Если сферические функции имеют вид (5.8), то квадрат нормы для них равен
Для сферических функций вида (5.9)
где
