6. Нелинейные уравнения первого порядка.

Мы переходим к рассмотрению уравнений с частными производными первого порядка в общем случае. Как и для рассмотренных выше линейных уравнений, мы сначала будем предполагать, что имеются лишь две независимые переменные. Уравнение с частными производными первого порядка для функции от двух независимых переменных имеет вид

Выясним прежде всего геометрический смысл написанного уравнения. В любой фиксированной точке уравнение (59) представляет собою соотношение между т. е. соотношение между направляющими косинусами нормали к поверхности. Удовлетворяющие этому соотношению нормали образуют некоторую коническую поверхность с вершиной Плоскости, проходящие через точку и перпендикулярные к образующим этого конуса, представляют собою возможные положения

касательной плоскости в фиксированной точке к искомым интегральным поверхностям. Это семейство плоскостей, так же как и семейство образующих конуса нормалей, будет зависеть от одного параметра. Огибающая этого семейства плоскостей будет представлять собою новый конус, который мы назовем конусом Т. Уравнение (59) эквивалентно, таким образом, заданию в каждой точке пространства конуса T, а искомая интегральная поверхность уравнения (59) должна обладать тем свойством, что в каждой ее точке касательная плоскость должна касаться конуса T, соответствующего этой точке.

Составим уравнения образующих конуса Т в заданной точке Пусть и q — функции некоторого параметра а, удовлетворяющие уравнению (59) в фиксированной точке Конус Т является огибающей семейства плоскостей:

Дифференцируя по параметру а, получаем добавочное уравнение

Дифференцируя по а соотношение (59), мы получим

где

В дальнейшем мы будем считать, что при рассматриваемых значениях переменных одновременно в нуль не обращаются, т. е. Исключением будет лишь случай особых решений уравнения (59). Считая, что - и не могут быть оба одновременно равны нулю, мы из однородных уравнений (61) и (62) получаем

и, наконец, уравнение (60) дает нам окончательно уравнение образующих конуса:

Чтобы получить различные образующие конуса Т, мы должны в знаменатели подставлять различные значения к q, удовлетворяющие соотношению (59) в фиксированной точке .

В случае линейного уравнения (2) мы имели в каждой точке одно определенное направление, и касательная плоскость к искомым интегральным поверхностям должна была содержать это направление В данном случае мы имеем в каждой точке вместо одного определенного направления конус , и касательная плоскость к искомым интегральным поверхностям должна касаться этого конуса Мы не можем, таким образом, для нелинейного уравнения (59) строить непосредственно характеристические кривые так, как это мы делали для линейного уравнения (2), имея определенное поле направлений. В данном случае вместо поля направлений мы имеем поле конусов Т. Но мы покажем сейчас, что, имея интегральную поверхность уравнения (59), мы можем покрыть ее линиями, которые вполне аналогичны характеристическим линиям линейного уравнения (2). Действительно, в каждой точке интегральной поверхности касательная плоскость должна касаться конуса T, соответствующего этой точке, и, тем самым, должна содержать одну из образующих этого конуса, вдоль которой она и касается конуса Эти образующие конусов Т в различных точках поверхности создают на интегральной поверхности некоторое поле направлений и, тем самым, интегрируя соответствующее этому полю направлений дифференциальное уравнение первого порядка, мы покрываем нашу поверхность семейством кривых T, зависящим от одного параметра. Направляющие косинусы упомянутого поля направлений должны быть пропорциональны знаменателям уравнения (64), где и q определяются непосредственно из уравнения рассматриваемой интегральной поверхности . Таким образом, вдоль упомянутых линий, покрывающих заданную интегральную поверхность, должно выполняться соотношение

или

Чтобы найти упомянутые линии на заданной интегральной поверхности, достаточно проинтегрировать уравнение первого порядка

причем знаменатели написанных дробей содержат только переменные х и у, поскольку функция а и ее частные производные и q на заданной поверхности являются известными функциями х и у. Интегрируя уравнение (67) и пользуясь уравнением поверхности мы и получим упомянутые выше линии

Правые части уравнений (66) имеют определенный смысл только при определенном выборе интегральной поверхности и . Знание интегральной поверхности дает нам и q как функции от . Мы дополним сейчас систему уравнений (66) еще двумя уравнениями, содержащими дифференциалы так, чтобы получилась система дифференциальных уравнений, не зависящая от выбора интегральной поверхности уравнения (59). Обозначим через и t вторые производные функции и:

а через обозначим производные от левой части уравнения (59) по :

Дифференцируя левую часть уравнения (55) по х и у полным образом, мы получим

С другой стороны, мы имеем, очевидно,

Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что

и, следовательно, мы можем добавить к уравнениям (66) еще два последних уравнения, и, таким образом, получим следующую систему пяти дифференциальных уравнений с пятью функциями вспомогательного параметра

Мы можем, таким образом, утверждать, что на любой интегральной поверхности, вдоль всякой линии построенной нами выше, должны выполняться уравнения (68). Систему дифференциальных уравнений (68) мы можем рассматривать саму по себе, независимо от интегральных поверхностей уравнения (59). Эта система называется характеристической системой уравнения (59),

Отметим, что при выводе уравнений (68) мы пользовались производными второго порядка функции u. Кроме того, для нас существенно при интегрировании (68), чтобы правые части имели непрерывные производные первого порядка. Учитывая все это, сформулируем полученный нами результат. Пусть решение уравнения (59), имеющее непрерывные производные до второго порядка в окрестности некоторой точки Обозначим . Мы считаем, что однозначна, непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка в некоторой окрестности значений При этом система (68) имеет одно определенное решение

с начальными условиями при . Из приведенных выше рассуждений следует, что интегральная поверхность содержит указанное выше решение системы (68) при всех s, достаточно близких к нулю, т. е.

Систему (68) мы можем рассматривать, как мы уже упоминали выше, саму по себе, независимо от уравнения (59), как систему первого порядка для функций . Нетрудно проверить, что она имеет интеграл

Действительно, дифференцируя по s левую часть написанного равенства и пользуясь уравнениями (68), мы получим