§ 99. Преобразование моментов инерции при повороте осей.

Для вывода формул преобразования моментов инерции при повороте осей воспользуемся комплексным представлением моментов инерции. Обозначив через аффикс точки, заметим, что полярный момент инерции

Определим комплексный момент инерции J формулой

Складывая выражения найдем:

Аналогично

Перейдем от осей х, у к новым осям , повернутым относительно старых на угол (рис. 144). Аффикс точки по отношению к новым осям:

Комплексно-сопряженная величина:

Рис. 144.

Определяя для новых осей , получим:

По формулам (99.1) и (99.2)

Это и есть формулы преобразования моментов инерции в комплексной форме. Пользуясь выражением У и отделяя действительные части от мнимых, найдем:

Как видно, эти формулы почти буквально, с точностью до знака при совпадают с формулами для преобразования компонент тензора напряжений (см. § 37). Так же как плоское напряженное состояние, совокупность моментов инерции для множества пар осей, проходящих через точку, так называемый тензор инерции, можно представить с помощью круговой диаграммы Мора (рис. 144).

Будем откладывать осевые моменты инерции по оси абсцисс и центробежный со знаком минус по оси ординат. Аффикс точки х есть таким образом, точка х является изображением оси х. По формуле (99.2) аффикс точки х можно представить как сумму действительного числа (отрезок ОС) и комплексного числа (отрезок ).

Вторая из формул (99.3) указывает, что аффикс точки получится, если повернуть отрезок на угол по часовой стрелке.

Таким образом, точки, изображающие совокупность осевого и центробежного моментов инерции для разных осей, оказываются точками одной и той же окружности. Правило отсчета углов остается то же, что в теории плоского напряженного состояния, то есть углу а между осями соответствует дуга между точками круговой диаграммы, отсчитываемая в противоположном направлении.