§ 32. Нелинейные задачи на растяжение — сжатие.

Принцип малости деформаций, положенный в основу при решении всех рассмотренных задач, используется два раза: 1) при составлении уравнений статики, которые пишутся для недеформированной системы, 2) при построении диаграммы перемещений. Поэтому как уравнения статики, так и те уравнения, которые получаются из условий совместности деформаций, линейны относительно неизвестных усилий или напряжений. Вследствие этого усилия в отдельных стержнях всегда линейно выражаются через внешние силы и перемещения узлов суть также линейные функции внешних сил. Отсюда следует, что при вычислении перемещений от нескольких сил следует вычислять их от каждой силы отдельно, а затем складывать.

Рис. 42.

Можно, однако, указать примеры, когда принцип малости деформаций неприменим и задача становится существенно нелинейной. Рассмотрим, например, изображенную на рис. 42 систему из двух стержней, соединенных шарниром и образующих между собой угол, равней я. Составить уравнения статики для недеформированной системы нельзя, поэтому мы вынуждены предположить, что узел переместился на величину и, стержни наклонились на угол , так что и сравнение статики, составленное для деформированной системы, будет

Перемещение и перпендикулярно оси стержня, однако пренебречь удлинением стержня нельзя; нужно считать, что

Отсюда по закону Гука

Исключив из (32.1) и (32.2) усилие N, найдем а как функцию Р. Считая, что угол а мал, хотя и не настолько, чтобы пренебречь его квадратом, положим:

Тогда из (32.1) и (32.2)

Отсюда

Зависимость перемещения от силы оказывается резко нелинейной; при малых перемещениях сопротивление системы, ее жесткость, весьма мала, с увеличением деформации жесткость возрастает.