§ 152. Лииейиые упругие системы.
Применение общих теорем Лагранжа и Кастильяно к системам, для которых связь между внешними силами и перемещениями точек их приложения нелинейна, будь это вследствие того, что рассматриваются пластические деформации, или, как в примере предыдущего параграфа, вследствие того, что уравнения статики должны составляться для деформированного состояния, все равно наталкивается, на значительные трудности. В нашем курсе мы ограничимся линейными упругими системами, то есть системами, элементы которых подчиняются закону Гука, сочленения осуществлены без трения и малость деформаций позволяет составлять уравнения статики для недеформированного состояния. При этих условиях, как мы выяснили в § 32, перемещения и силы связаны линейными соотношениями. Легко видеть, что это относится в той же мере к изгибу и кручению, так как вёзде в этих задачах мы имеем дело с линейными функциями от сил. Исключение представляет случай продольно-поперечного изгиба: там выражение для поперечного изгиба зависит от продольной силы сложным образом, через трансцендентные функции. Легко понять, в чем тут дело. При составлении дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба мы принимаем момент от продольной силы равным произведению силы на прогиб, то есть определяем статический фактор с учетом происшедшей деформации.
Итак, будбм рассматривать линейные системы, для которых
или
(152.2)
Величины 
— коэффициенты влияния и 
— коэффициенты жесткости связаны очевидными соотношениями:
Здесь 
- определитель, общий элемент которого есть 
; 
— алгебраическое дополнение этого элемента. Определители 
должны быть отличны от нуля. Покажем, что матрицы коэффициентов 
симметричны. По теореме Лагранжа
Аналогично
Из факта независимости второй смешанной производной функции от порядка дифференцирования следует:
Но по формуле (152.1)
Точно так же
Мы доказали, что 
, а следовательно, 
.
В линейной системе напряжения выражаются линейным образом через внешние силы, а так как удельная энергия о есть квадратичная функция от напряжений, то 
представляет собою квадратичную форму от сил 
. Вследствие (152.2) 
есть квадратичная форма от перемещений. Для того чтобы написать выражение W в зависимости от сил или перемещений, воспользуемся вариационным уравнением (151.1), приняв в нем
Таким образом, возможные перемещения мы выбираем пропорциональными действительным. Множитель Я произволен. Если W есть квадратичная форма от перемещений 
то по известной теореме Эйлера
Воспользуемся уравнением (151.1), внеся в него 
по сокращении на 
получим:
(152.3)
Это теорема Клапейрона.
Пользуясь уравнениями (152.1) или (152.2), можем представить потенциальную энергию деформации следующим образом:
или
