§ 133. Стержень, нагруженный бимоментом.
Перепишем уравнение (131.7) следующим образом:
(133.1)
Здесь
Уравнение (133.1) вполне аналогично изученному в § 124 уравнению изгиба при наличии продольной силы. Общий интеграл его напишется так:
(133.2)
Чтобы выяснить граничные условия, вспомним, что искажение поперечного сечеиня по формуле (130.2) зависит от 
. Поэтому, если сечеиие вынуждено оставаться плоским, для него 
Нормальные напряжения зависят от бимомента, который в свою очередь выражается через 
. Поэтому если в сеченин нет нормальных сил, то для него 
.
Применим уравнение (133.2) к стержню, на который не действуют крутящие моменты и, следовательно, 
всюду. Пусть стержень имеет достаточно большую длину. Требуя, чтобы величина стремилась к нулю по мере возрастания z, получим:
Поэтому
Продифференцируем 
по z и вспомним определение бимомента (131.2). Умножая 
на 
, получим:
(133.3)
Мы установили закон затухания бимомента по мере удаления от торца. Если к стержню не приложены изгибающие моменты, то в каждом сечении действуют нормальные напряжения
затухающие по экспоненциальному закону в зависимости от координаты z. Чтобы создать такое напряженное состояние, к торцу нужио приложить силы, распределенные по закону секториальных площадей:
Фактически внешние силы никогда не бывают распределены по закону секториальиых площадей. Чтобы выяснить, что такое В (0) и каким образом можно приложить бимомеит в торцевом сечении стержня, обратимся к случаю изгиба. Пусть к торцу стержня приложены нормальные силы 
на единицу площади сечения. При изучении изгиба нас не интересует конкретный способ осуществления нагрузки: напряжения на некотором расстоянии от сечения распределяются по закону плоскости. Это можно пояснить следующим образом. Рассмотрим систему трех функций:
Поскольку х и у — главные оси, эти три функции ортогональны с весом 
. Это значит, что
Поставим задачу аппроксимировать функцию нагрузки 
с помощью линейной комбинации этих трех функций:
(133.4)
Остаток 
должен быть ортогональным ко всем трем функциям системы. Поступая, как обычно при определении коэффициентов Фурье, а именно умножая уравнения (133.4) на 
и интегрируя от 
до 
получим:
Обычная теория изгиба основывается на том факте, что часть нагрузки, даваемая первыми тремя членами формулы (133.4), передается как угодно далеко по стержню, не затухая. Статически уравновешенная часть нагрузки 
затухает весьма быстро, и с ней на некотором расстоянии от торца можно уже не считаться.
В теории тонкостенных стержней к введенным функциям добавляется четвертая, ортогональная к ним функция, а именно 
. Ортогональность обеспечивается выполнением условий (130.5), (130.6):
Определив некоторую полную систему функций от s, мы можем представить 
разложением по этим функциям. В теории изгиба тонкостенных стержней представляют интерес только четыре функции: 
. Нагрузка 
может быть аппроксимирована следующим образом:
Умножая обе части этого равенства на 
и интегрируя, получим:
Особо нужно остановиться на том случае, когда к торцу приложены сосредоточенные силы. Интеграл вырождается при этом в конечную сумму:
(133.6)
Рассмотрим четверку сил, введенную иами в § 109. Выберем произвольный полюс С (рис. 203) и будем определять бимомент по формуле (133.6).
Рис. 203.
Приняв точку 1 за начало отсчета секториальиой площади, обозначим площади заштрихованных треугольников 
. Тогда в точке 1
в точке 2
в точке 3
наконец, в точке 4
Вспомним, что в точках 1, 2, 3, 4 приложены силы 
причем 
равны 
, а 
равны 
. По формуле (133.6) получим:
Но, как видно из чертежа,
Таким образом,
(133.7)
Этот результат совпадает с определением бимомента, данным в § 109. Формула (133.3) решает поставленную там задачу, причем существо дела нужно представить себе следующим образом. В сечении, весьма близком к торцу, решающую роль играют местные напряжения от приложенных сил, но уже на некотором, сравнительно небольшом (порядка поперечного размера) расстояний от торца они становятся распределенными по закону секториальиых площадей. В данном случае это то же, что закон плоских сечений для каждой полки в отдельности.
По мере удаления сечения от торца эти нормальные напряжения затухают по закону (133.3). Помимо этого, в сечениях возникают также касательные напряжения двух родов. С одной стороны, это изгибно-крутильные напряжения, которые можно найти по формуле (130.8). Так как со на каждой полке зависит линейно от координаты у, то легко сообразить, что эти напряжения существуют только в полках и распределяются по закону параболы. Кроме того, в сечении возникают обычные напряжения кручения.
