§ 46. Условие пластичности Треска — Сен-Венана.

Как указывалось, мягкая сталь в условиях растяжения или сжатия при достижении напряжением величины от деформируется без изменения напряжения, причем величина деформации, если отвлечься от упрочнения, ограничивается только внешними связями. Условие текучести при растяжении или сжатии есть

Тело, находящееся в сложном напряженном состоянии, тоже может быть переведено в состояние текучести, но в этом случае достижение пластического состояния не определяется значением одного только напряжения, а зависит от тензора напряжений в целом.

Отнесем тензор напряжений к главным осям и предположим, что существует функция такая, что

в упругом состоянии и

в пластическом состоянии.

Для растяжения, когда действует только одно главное напряжение, . Подобно тому как для идеально пластического материала о не может быть больше, чем от, функция не может быть больше нуля.

В следующей главе мы рассмотрим более подробно механизм пластической деформации металлов. Основной факт здесь состоит в том, что пластическая деформация каждого кристаллического зерна является сдвиговой, слои атомов скользят один относительно другого. Однако в реальном поликристаллическом металле кристаллические зерна расположены беспорядочно и переход от свойств единичного кристалла к свойствам поликристаллического металла затруднителен. Можно сказать только, что переход металла в пластическое состояние означает, что пластические сдвиги происходят во всех зернах или в подавляющем их большинстве. Представим себе теперь, что на то напряженное состояние, которое существует в теле, накладывается всестороннее растяжение или сжатие. Осуществить на опыте всестороннее растяжение, а тем более наложить его на заданное напряженное состояние оказывается невозможным; всестороннее сжатие, наоборот, реализуется довольно просто, для этого нужно нагружать образец в среде жидкости под высоким давлением. При этом все три главных напряжения изменяются на одну и ту же величину. Наибольшие касательные напряжения равны полуразностям главных напряжений, поэтому они не меняются от наложения всестороннего растяжения или сжатия, касательное напряжение на любой площадке также остается неизменным. А так как сдвиговая деформация определяется касательными напряжениями, то естественно ожидать, что условие пластичности не зависит от добавления к тензору напряжений гидростатической составляющей. Это предположение хорошо подтверждается опытами (Карман, Бекер, Бриджмен и другие). При обсуждении этих и подобных им опытов необходимо иметь в виду, что пластическая деформация происходит путем сдвига, но разрушение может происходить путем отрыва. Поэтому обычное деление материалов на хрупкие и пластические оказывается условным. Так, Карман и Бекер производили опыты над мрамором и песчаником. При обычных условиях испытания мрамор и песчаник хрупки, обладая низким сопротивлением отрыву, они разрушаются, не успев проявить пластических свойств.

Но если испытание образца из этих материалов производится в жидкости, находящейся под высоким давлением, они обнаруживают пластические свойства.

Горные породы, хрупкие в обычных условиях, находясь в недрах земли под огромным давлением, медленно текут, получая при этом весьма большие деформации; эти явления играют существенную роль в процессах горообразования.

Теперь мы можем сделать некоторые заключения о функции эта функция не должна менять своего вида от того, что , изменяются на одну и ту же величину, поэтому она должна зависеть от разностей главных напряжений, то есть иметь вид:

Для доказательства этого утверждения предположим, что , получили одинаковые приращения . Условия пластичности от этого не зависят, следовательно, функция

не зависит от q и ее производная по q равна нулю. Вычисляя полную производную, получим:

Ищем общий интеграл этого дифференциального уравнения с частными производными. По общему правилу составляем обыкновенные дифференциальные уравнения:

Интегрируя три возможные комбинации, получим:

Общий интеграл уравнения с частными производными, как известно, есть произвольная функция от .

Достаточно считать, что зависит не от трех разностей главных напряжений, а от двух, например с, и так как однако мы сохраним приведенную форму записи вследствие того, что она симметрична.

Простейшее предположение состоит в том, что материал переходит в пластическое состояние тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает предельного значения k. Согласно этому, предположению в пластическом состоянии

Условие пластичности (46.2) было предложено Треска и принято Сен-Венаном, который положил его в основу созданной им теории пластичности.

Ряд авторов, начиная с Треска, занялись опытной проверной этого условия и обнаружили его удовлетворительное соответствие данным опыта.

Применяя формулу (46.2) к растяжению, когда получим:

Поэтому условие (46.2) можно переписать так:

Величина представляет собою предел текучести при сдвиге. Опыты, произведенные при сверхвысоких давлениях, показали, что k меняется в зависимости от давления, а именно возрастает с повышением давления. Это увеличение пластической постоянной незначительно и становится заметным только при исключительно высоких давлениях; мы не будем принимать его во внимание.