§ 123. О решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то: продольно-поперечный нзгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок — сводятся к решению линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложного вида, чем уравнение (116.4). Трудность интегрирования этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от z, имеющая разные аналитические выражения на разных участках. Излагаемый ниже метод применялся еще Коши; для изгиба балок он был детально разработан А. Н. Крыловым.

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами

(123.1)

Возьмем произвольную систему линейно независимых частных решений

и построим из них новую систему частных решений обладающих тем свойством, что

(123.2)

Это всегда возможно. Для этого надо взять линейную комбинацию из частных решений

Коэффициенты найдем из уравнений:

(123.3)

Детерминант этой системы есть детерминант Вронского для системы функций при он отличен от нуля вследствие линейной независимости функций . Поэтому всегда можно найти коэффициенты и фактически построить функцию .

Образуем систему таких частных решений: . Каждая из этих функций обладает свойством (123.2).

Составим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций и их производных:

Во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной диагонали — единицы. Поэтому система частных решений уравнения (123.1) называется системой с единичной матрицей. Будем строить общий интеграл уравнения (123.1) именно с помощью этой системы частных решений, линейная независимость которой усматривается из того факта, что ее определитель Вронского при есть определитель единичной матрицы, следовательно, единица. Таким образом,

Займемся теперь решением неоднородного уравнения

(123.4)

Докажем следующую теорему:

Интеграл уравнения (123.4), обращающийся в нуль вместе со своими производными до порядка включительно при дается формулой.

(123.5)

При этом предполагается, что в уравнении (123.4) коэффициент при старшей производной сделан равным единице. Вычислим последовательные производные функции . Здесь z одновременно является и верхним пределом интеграла, и параметром, поэтому по известной теореме анализа

Но вследствие специального выбора функций . Продолжая процесс дифференцирования, иайдем:

и так далее, до производной порядка включительно.

Производная же порядка

причем

Подставим теперь все последовательные производные функцни в уравнение (123.4). Вследствие постоянства коэффициентов под интегралом получится та же комбинация производных функции , что и в операторе Учитывая же, что коэффициент при есть единица, получим:

Но есть решение уравнения (123.1), поэтому мы получили тождество, что и доказывает теорему.

Формула (123.5) дает не какое-нибудь частное решение уравнения (123.4), а решение, обращающееся в нуль вместе со своими производными до порядка включительно при . Это большое преимущество полученного решения, упрощающее определение постоянных из начальных условий.

Общий интеграл уравнения (123.4) может быть представлен следующим образом:

Постоянные имеют здесь совершенно определенные значения. Действительно, положим . Получим:

Вычислим производную от и порядка k и положим . В правой части обратятся в нуль все члены, кроме содержащего множителем так как . Получим:

Таким образом,

(123.6)

Формула (123.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интеграции имеют здесь простой смысл: это начальные (при ) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле (123.6) и широко применяемый в сопротивлении материалов и строительной механике, называется методом начальных параметров. Будучи введен А. Н. Крыловым, метод начальных параметров разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам.

В качестве примера рассмотрим уже изученное нами уравнение (116.4):

Соответствующее однородное уравнение:

Его частные решения, обладающие единичной матрицей, суть

Действительно,

По формуле (123.6)

(123.7)

По теореме Коши

Поэтому формула (123.7) буквально совпадает с непосредственно найденной формулой (118.2).