§ 166. Кинематически возможные состояния.

Для того чтобы статически возможное состояние жестко-пластической системы было действительным состоянием предельного равновесия, нужно, чтобы это состояние было в то же время кинематически возможным; это значит, что свобода пластической деформации, связанная с переходом отдельных элементов в пластическое состояние, должна иметь возможность реализоваться на самом деле.

Обращаясь к первому примеру, рассмотренному в предыдущем параграфе, мы заметим, что состояния, соответствующие внутренности заштрихованной области на рис. 244, отвечают условию того, что система остается жесткой. Кривая а соответствует тому случаю, когда в пролетах образовались пластические шарниры. Этого еще недостаточно, чтобы балка получила возможность свободно деформироваться (рис. 246, а). Если мы рассматриваем статически возможное состояние, удовлетворяющее условию (б), пластический шарнир получается над средней опорой, этого опять-таки недостаточно для того, чтобы балка превратилась в изменяемую систему (рис. 246, б). Только тогда, когда пластические шарниры возникнут и в пролетах, и над средней опорой, что соответствуют точке А диаграммы рис. 244, балка получает возможность деформироваться так, как показано на рис. 246, а; такое состояние является кинематически возможным, притом совместным со статическим состоянием. Последнее замечание означает, что пластические усилия должны производить положительную работу на соответствующих перемещениях; грубо говоря, если напряжение в стержне равно он должен удлиниться, а не укорачиваться. Возвращаясь к схеме образования пластических шарниров, изображенной на рис. 246, а, следует заметить, что она не исключает возможности деформации по схеме, показанной на рис. 246, а, но при этом в левом шарнире относительный поворот имеет направление, противоположное моменту, работа момента отрицательна, и следовательно, кинематически мыслимая схема деформации несовместима с принятым статически возможным состоянием.

Рис. 246.

Второй метод определения точного или приближенного значения предельной нагрузки для жестко-пластических систем состоит в том, что мы рассматриваем различные кинематически возможные схемы перехода системы в состояние текучести и приравниваем работу внешних сил работе внутренних сил перешедших в пластическое состояние элементов. Принятая кинематическая схема дает нам распределение скоростей деформации, это распределение вместе с условием текучести позволяет иайти величины соответствующих усилий. Вопрос об усилиях решается чрезвычайно просто, если в каждом элементе достижение предельного состояния определяется величиной одного только усилия.

Так, в случае фермы, выбирая кинематически возможное состояние, мы допустим, что некоторые стержни могут свободно удлиняться или укорачиваться. Напряжения в соответствующих стержнях будут равны пределу текучести соответственно со знаком плюс или минус. При изгибе балки, пренебрегая влиянием поперечных сил на предельное состояние, нужно считать в пластической части момент равным . Если условие пластичности для элемента содержит несколько обобщенных усилий, то, зная поверхность нагружения и используя ассоциированный закон течения, мы можем найти ту точку на поверхности нагружения, в которой нормаль имеет заданное направление. Координаты этой точки дадут величины соответствующих усилий.

Рис. 247.

Рис. 248.

Условие равенства работы внешних и внутренних сил удобно заменить условием равенства мощностей, то есть работ, произведенных за единицу времени, поскольку мы считаем известным распределение скоростей. Запишем это условие следующим образом:

(166.1)

Остановимся несколько подробнее на вычислении мощности внутренних сил. Так, можно предположить, например, что балка изгибается по кривой как показано на рис. 247, скорость изменения кривизны в каждом сечении равна следовательно, работа моментов есть

Величина, заключенная в квадратные скобки, представляет собою разность угловых скоростей поворота касательных к оси балки в начальной и конечной точках. С другой стороны, в качестве кинематически возможного состояния можно взять состояние, соответствующее шарниру текучести (рис. 248). Тогда работа момента в пластическом шарнире за единицу времени будет равна где — угловая скорость относительного поворота частей балки, разделенных пластическим шарниром. Как видно, эти выражения совершенно совпадают.