§ 98. Вычисление моментов инерции.
При вычислении момента инерции плоской фигуры, например, относительно оси х в формуле для 
нужно принять 
Интегрируя по х при постоянном у, найдем:
Отрезок 
есть ширина сечения на расстоянии у по оси х (рис. 140). Вообще, 
есть известная функция от у. Для момента инерции получаем формулу
Аналогично
Рассмотрим несколько примеров, относящихся к определению моментов инерции простейших фигур.
Прямоугольник. Определим момент инерции относительно центральной оси 
(рис. 141). При этом
Треугольник. Проще всего найти момент инерции треугольника для оси х, проходящей через вершину и параллельной основанию.
Рис. 140.
Рис. 141.
Рис. 142.
При этом (рис. 142) 
Желая вычислить момент инерции относительно центральной оси, параллельной основанию, заметим, что по формуле (97.4)
Но
Отсюда
Круг. Для любых центральных осей 
поэтому
Но полярный момент инерции круга был вычислен в § 87:
Поэтому
Эллипс. Эллипс можно рассматривать как проекцию круга радиуса а на плоскость, составляющую с плоскостью круга угол 
, косинус которого есть 
( 
— полуоси).
При вычислении момента инерции относительно большой оси:
заметим, что у и 
представляют собою отрезки, перпендикулярные линии пересечения плоскостей круга и эллипса. Поэтому они равны соответствующим отрезкам для круга, умноженным на 
Следовательно,
Здесь 
— момент инерции площади круга относительно диаметра.
Аналогично в выражении
равны соответственным линейным величинам проектируемого круга, 
есть результат умножения элемента ординаты круга на 
. Поэтому
Замечая, что 
получим
При определении центробежных моментов инерции заменять двойное интегрирование однократным нельзя. Приведем определение момента инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей, параллельных катетам. Возьмем сначала оси х, у, совпадающие с катетами треугольника (рис. 143).
Рис. 143.
Центробежный момент прямоугольного треугольника относительно этих осей есть
Но
Пользуясь формулой преобразования центробежного момента инерции при параллельном переносе осей
и полагая в ней
найдем:
Поперечные сечения балок, для которых приходится находить моменты инерции, обычно представляют сложные фигуры, которые легко разбить на простейшие прямоугольники и треугольники. Вычисление моментов инерции таких фигур производится путем разбивки на части на основании того свойства, что момент составной фигуры равен сумме моментов ее частей, а также теорем о преобразовании моментов инерции при параллельном переносе.
