§ 105. Дифференциальные соотношения между интенсивностью нагрузки, перерезывающей силой и изгибающим моментом. Эпюры.

Рассмотрим стержень, нагруженный силами в плоскости (рис. 150). Разрежем стержень по сечению с координатой z и отбросим левую часть стержня. Рассматривая оставшуюся правую часть, мы должны заменить действие сил, отброшенных вместе с левой частью, их результирующей, равной главному вектору, и парой, момент которой равен главному моменту, приведенными к центру тяжести сечеиия с координатой z. По определению перерезывающей силы и изгибающего момента главный вектор равен по величине перерезывающей силе а главный момент — изгибающему моменту . Рассмотрим бесконечно близкое сечение с координатой Если считать, что Q и являются функциями от координаты z, то в сечении перерезывающая сила есть изгибающий момент .

Рис. 150.

С другой стороны, есть сумма сил, действующих по левую сторону от сечения . Если на элемент действует сила направленная по оси у и приложенная на расстоянии от сечения то

Следовательно,

(105.1)

Точно таким же способом вычисляем изгибающий момент в сечении он равен

Отбрасывая малые второго порядка, отсюда получаем:

(105.2)

В случае, когда на балку действует непрерывно распределенная нагрузка поэтому уравнение (105.1) может быть записано следующим образом:

Для изгиба в плоскости получим аналогичным образом:

Чтобы сделать наглядным ход изменения изгибающего момента и перерезывающей силы при переходе от одного сечения к другому, обычно строят графики этих функций — так называемые эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

При построении рекомендуется исходить только из определения перерезывающей силы и момента, используя дифференциальное соотношение (105.2) для контроля.

Рассмотрим пример, приведенный на рис. 151. Легко видеть, что в этом случае каждая из реакций равна Р. Точки приложения сосредоточенных сил разбивают балку на три участка.

На первом участке

на втором

на третьем

Эпюры имеют вид, изображенный на рис. 151.

Во многих случаях построение эпюр возможно и без составления аналитических выражений моментов и перерезывающих сил по участкам.

Достаточно вычислить моменты для некоторых характерных сечений, при построении же следует руководствоваться следующими правилами:

а) Перерезывающая сила претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенной силы на величину этой силы.

б) На незагруженном участке перерезывающая сила постоянна.

в) На равномерно загруженном участке перерезывающая сила есть линейная функция z, возрастающая, если нагрузка положительна.

Рис. 151.

г) Изгибающий момент претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенного момента на величину этого момента.

д) На незагруженных участках эпюра моментов есть прямая, наклон которой пропорционален перерезывающей силе.

е) Эпюра моментов образует изломы только там, где перерезывающая сила разрывна, то есть в точках приложения сосредоточенных сил.

ж) Изгибающий момент принимает экстремальное значение там, где перерезывающая сила равна нулю.

з) На свободном конце или концевой опоре изгибающий момент равен нулю, если там не приложен внешний момент.

и) На равномерно загруженном участке эпюра изгибающих моментов есть парабола, обращенная выпуклостью вверх, если нагрузка положительна (направлена вниз).

Рассмотрим в качестве примера балку, изображенную на рис. 152. Распределенная нагрузка q должна считаться положительной, так как ось направлена вниз. Реакции опор суть да каждая. На участке по правилу б) перерезывающая сила постоянна, по определению она равна Проводим прямую с ординатой — в пределах первого участка. Совершенно аналогично находим, что на третьем участке .

При этом, конечно, следует определять перерезывающую силу как сумму сил, приложенных справа от сечения, взятую с обратным знаком. Согласно правилу а) эпюра должна быть непрерывна, так как сосредоточенных сил нет. Поэтому крайние точки эпюр на участках I и II иужио соединить прямой в соответствии с правилом в). Согласно правилу з) на левом и правом концах изгибающий момент равен нулю, на участках I и II эпюра должна быть прямолинейна вследствие правила д).

Вычислим - изгибающий момент на границе между первым и вторым участками; получим — .

Такой же момент будет и на границе между вторым и третьим участками. Отложим соответствующие отрезки и соединим концы их прямыми с концами отрезка, изображающего балку. Средняя часть балки имеет параболическую эпюру моментов по правилу и); вопрос о выпуклости параболы решается правилом и), но можно также руководствоваться правилом е), согласно которому там, где нет сосредоточенных сил, эпюра не может претерпевать излома, то есть параболическая часть сопрягается с прямолинейными. В середине балки изгибающий момент достигает максимума абсолютной величины вследствие правила ж). Это максимальное значение

Теперь легко построить параболу, что и выполнено на рис. 152.

Рис. 152.