§ 164. Статический метод определения предельной нагрузки.

Будем рассматривать жестко-пластическое тело, находящееся в предельном состоянии под действием внешних сил . При этом обобщенные усилия в некоторых элементах не удовлетворяют условию текучести, в остальных же элементах это условие не нарушено. Соответствующие обобщенные скорости деформации будут а скорости точек приложения внешних сил — . Нахождение перечисленных величин и составляет задачу теории пластичности; при этом основная цель состоит в определении внешних сил, то есть несущей способности конструкции. Приближенное решение этой задачи можно всегда получить, если рассмотреть вместо истинного состояния некоторое статически возможное. Под статически возможным состоянием понимается такое состояние, когда выполнены уравнения равновесия и условие предельного состояния нигде не нарушено. Пусть Р — внешние силы, соответствующие этому статически возможному состоянию, Q — обобщенные усилия. По условию

Поскольку силы Р и Q находятся в равновесии, к ним можно применить принцип возможных перемещений. Распределение скоростей и фактически реализуется в теле, поэтому в качестве системы возможных перемещений можно принять перемещения, пропорциональные этим скоростям. Получим:

(164.1)

С другой стороны, принцип Лагранжа можно применить и к силам истинного состояния, вследствие этого

(164.2)

Вычтем уравнение (164.1) из уравнения (164.2):

Правая часть положительна в силу основного неравенства (163.1), поэтому

(164.3)

Знак равенства возможен только тогда, когда выбранное статически возможное состояние совпадает с истинным. В случае, если на систему действует только одна сила Р, неизвестная скорость v в обеих частях неравенства (164.3) сократится и мы получим:

Таким образом, нагрузка, соответствующая произвольному статически возможному состоянию системы, меньше, чем предельная нагрузка. Этот вывод остается справедливым и для системы сил, действующих на тело, если сравниваются нагрузки, отличающиеся пропорциональным изменением всех сил.

Рассматривая различные статически возможные состояния, мы будем находить различные нагрузки, каждая из которых является приближением снизу для истинной предельной нагрузки. Наилучшим приближением согласно доказанной теореме будет то, для которого нагрузка получается наибольшей.

Упругое состояние системы, при котором предел текучести достигнут в одной или нескольких точках, является по определению статически возможным. Действительно, при решении задачи о нахождении упругого состояния мы должны были позаботиться о выполнении уравнений равновесия; при этом условие текучести нигде не было нарушено и только в отдельных точках это условие достигнуто. Соответствующее значение внешней нагрузки представляет нагрузку, определенную по способу допускаемых напряжений (с запасом прочности, равным единице).

Таким образом, мы имеем совершенно строгое доказательство того, что расчет по предельному состоянию приводит к ббльшим значениям допускаемой нагрузки, чем расчет по допустимым напряжениям.