§ 40. Главные касательные напряжения.
Поставим теперь задачей разыскание тех площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. По формуле (39.5) получим:
Речь идет об отыскании экстремума функции 
в зависимости от направляющих косинусов 
. Последние связаны известным соотношением:
Таким образом, нужно решать задачу отыскания экстремума с дополнительным условием. Напомним, что если требуется найти экстремум функции 
при дополнительном условии 
то составляют уравнения:
Присоединяя сюда дополнительное условие, получим систему четырех уравнений для нахождения четырех неизвестных 
.
В нашем случае роль функции F играет 
, тогда как 
. Дифференцируя 
по 
получим:
Обращаясь к формуле (39.4), перепишем это выражение так:
Продифференцируем теперь дополнительное условие. Получим:
Производные по 
выразятся совершенно аналогично. В результате мы приходим к такой системе уравнений:
Здесь
Очевидное решение системы (40.2) есть
При этом 
из первого уравнения 
два другие удовлетворяются. Точно так же можно принять 
или 
. Эти решения не представляют для нас интереса; найденные площадки суть главные площадки, на них касательное напряжение равно нулю, а для неотрицательной величины 
нуль есть минимальное значение;
Предположим теперь, что 
отличны от нуля, сократим эти множители в первых двух уравнениях и вычтем одно из другого. Получим:
Отсюда
Следовательно, 
. Третье уравнение при этом выполняется. Соответствующая площадка проходит через ось 
и делит угол между плоскостями 13 и 23 пополам. По формуле (40.1) найдем, что при этом
Совершенно аналогичным образом получаем для 
экстремальные значения 
и 
на площадках, делящих пополам углы между плоскостями 21 и 31, 32 и 12.
Назовем экстремальные значения касательного напряжения главными касательными напряжениями:
Очевидно, что 
является наибольшим касательным напряжением, если 
.
