§ 50. Энергия изменения формы.

В конце прошлого столетии было высказано предположение о том, что переход в пластическое состояние свизан с достижением предельного значении энергией деформации на единицу объема (Бельтрами). Эта точка зрения была опровергнута опытом. Действительно, подвергая материал всестороннему сжатию, можно накопить в единице объема сколь угодно большую упругую энергию, лишь бы давление было достаточно велико. Однако ндея подобного энергетического критерии начала текучести представляется заманчивой, и для ее реализации необходимо суметь отделить энергию изменения объема от энергии сдвиговой деформации, или, как говорят, энергии изменения формы.

Представим себе, что наприженное состояние разложено на две составляющие, которые мы будем называть девиаторной частью тензора наприжений и его гидростатической частью.

Девнаторной частью тензора напряжений называют ту его часть, которая не меняетси от добавлении всестороннего растяжения или сжатии. Если тензор напряжений отнесен к главным осям, будем обозначать компоненты девиатора . Гидростатическая часть — это выделиемое из общего наприженного состояния состояние всестороннего сжатия или растяжения. Компоненты гидростатической части тензора: . Теперь главные напряжении могут быть представлены следующим образом:

Отсюда компоненты девиатора:

По определению компоненты девиатора не должны меняться от приложения к телу дополнительных напряжений всестороннего растяжения или сжатия. Пусть эти дополнительные напряжения равны q. Каждое из главных напряжений получает приращение, равное q; для того чтобы компоненты девиатора не изменились, необходимо, чтобы величина также получила приращение, равное q. Для этого нужно принять

На рис. 56 показано схематически разложение напряженного состояния на девиаторную и гидростатическую части. Оказывается, что потенциальная энергия упругой деформации может быть представлена

Рис. 56.

как сумма энергий, соответствующих девиаторной и гидростатической частям тензора напряжений. Первая называется энергией изменения формы, вторая — энергией изменения объема. Обозначим энергию изменения формы через энергию изменения объема через . Нам нужно доказать, что

Следует заметить, что свойство аддитивности вообще на упругую энергию не распространяется, так как энергия является квадратичной функцией от напряжений. Если представить себе напряженное состояние тела как результат последовательного приложения двух систем напряжений, то вычисление конечной энергии можно производить следующим образом.

От приложения первой системы напряжений в теле накапливается энергия . Прикладываем теперь вторую систему напряжений, которая вызывает деформации они вычисляются по формулам закона Гука через напряжения так, как если бы первая система напряжений отсутствовала. Работа второй системы напряжений на своих перемещениях есть энергия . Но на деформациях производят работу и напряжения первой системы, которые были приложены раньше. Обозначим эту работу и запишем:

Применяя эти рассуждения к нашему случаю, заметим, что гидростатическое напряженное состояние вызывает деформации:

Работа напряжений девиаторной части на этих деформациях есть

Складывая равенства (50.2) и принимая во внимание (50.3), получим:

Таким образом, что и доказывает формулу (50.4). Для вычисления энергии изменения формы воспользуемся выражением (49.2) упругой энергии, заменив в нем через по формулам (50.2). Получим:

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством (50.5). Возведем это тождество в квадрат:

С помощью (50.7) можно преобразовывать выражение (50.6) для энергии изменения формы различными способами. Например, исключая попарные произведения компонент девиатора, получим:

Исключая квадраты компонент девиатора, найдем:

Однако наиболее удобное выражение а получится, если умножить (50.7) на и результат вычесть из (50.6). Таким образом мы придем к следующему результату:

Из формул (50.2) следует, что попарные разности компонент девиатора равны разности соответствующих компонент исходного тензора, поэтому предыдущую формулу на основании (44.3) и (41.2) можно заменить следующей:

Для нахождения энергии изменения объема внесем в формулу (49.2) вместо , величину . Получим:

Условие постоянства октаэдрического касательного напряжения тождественно с условием постоянства упругой энергии изменения формы.

Губер в 1904 г. высказал предположение, что разрушение материала происходит тогда, когда достигается предельное значение либо полной упругой энергии, либо энергии изменения формы, в зависимости от того, отрицательно или положительно . Когда гидростатическая часть тензора напряжений отрицательна, то есть происходит всестороннее сжатие, критерий прочности Губера совпадает с условием постоянства октаэдрического напряжения Мизеса. При всестороннем растяжении начало разрушения определяется, по Губеру, полной удельной энергией.