§ 137. Эластика Эйлера.
Рассмотрим задачу, поставленную в предыдущем параграфе, в точной постановке. Напишем дифференциальное уравнение изгиба так:
Кривизна и изогнутой оси равна 
, где 
— изображенный на рис. 209 угол между касательной к изогнутой оси стержня и осью, проходящей через его концы.
У равнение изгиба будет следующим:
(137.1)
Здесь 
то же, что и в § 136.
Продифференцируем уравнение (137.1) по s, заметив, что
Получим:
(137.2)
Уравнение (137.2) интегрируется квадратурами обычным способом. Запишем его так:
Заметим, что преобразование левой части вполне аналогично преобразованию левой части уравнения движения при выводе теоремы живых сил.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем:
Мы воспользовались здесь граничным условием: при 
и 
.
Перейдем в этом выражении к половинным углам по формуле
Получим:
Сделаем замену переменной, приняв
(137.4)
Это всегда выполнимо, потому что 60,.
Дифференцируя (137.4), найдем:
Рис. 209.
Преобразуем к новой переменной выражение (137.3). Получим, разделяя переменные:
(137.5)
Положим
Заметим, что при 
. Поэтому, интегрируя левую часть от нуля до s, правую от 
до 
будем иметь:
Знак минус выбран для того, чтобы было s 0. Это эллиптический интеграл первого рода, то есть табулированная функция. Принимая обычные обозначения эллиптических интегралов:
получим:
При 
в силу симметрии, а следовательно, и 
. Поэтому
(137.6)
Из этого уравнения определяют неизвестную величину 
, связанную с углом наклона касательной на конце стержня. Теперь можуо найти координаты точек изогнутой оси стержня х и у, отправляясь от равенств
Перейдем к независимой переменной 
пользуясь (137.4) и (137.5). Получим:
Интегрируя и принимая во внимание, что 
при 
получим параметрические уравнения изогнутой оси:
(137.7)
Здесь
— эллиптический интеграл второго рода;
Обратимся теперь к исследованию уравнення (137.6).
Полный эллиптический интеграл F не может быть меньше чем 
это значение достигается при 
. Поэтому если 
, то это уравнение не имеет решения; единственно возможная форма равновесия прямолинейная. Но 
если
Это — первая критическая сила.
Таким образом, искривленная форма равновесия возможна тогда, когда 
. При этом каждому значению Р соответствует совершенно определенное значение 
по уравнению (137.6) и определенная кривая прогиба — эластика Эйлера, даваемая уравнениями (137.7). Прогиб растет по мере увеличения нагрузки весьма быстро, как показано на рис. 209.
Теперь понятно, почему мы могли обнаружить криволинейные формы равновесия при 
только с помощью точных уравнений. Для этих форм прогибы велики, а приближенное линеаризированное уравнение годится лишь для малых прогибов.
