§ 26. Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам.

До недавнего времени расчет статически неопределимых систем на прочность сводился к обеспечению выполнения неравенства

При этом в конструкциях, изготовленных из пластического материала, фактический запас прочности оказывался для статически определимых систем, как правило, меньшим, чем для систем, статически неопределимых.

Поясним сказанное примером. В системе из двух стержней при достижении предела текучести точка приложения силы всегда получает значительные перемещения, даже если течет только один стержень. Вообще в статически определимой системе для ее разрушения достаточно, чтобы только один стержень перешел в состояние текучести. Выпадение хотя бы одной связи делает систему изменяемой. В системе из трех стержней, изображенной на рис. 33, расчет, выполненный в предположении упругости стержней, дает следующие величины усилий:

Рис. 33.

Видно, что и при увеличении силы Р в среднем стержне предел текучести будет достигнут раньше, чем в крайних стержнях. Однако это не означает исчерпания сопротивления всей системы. Крайние стержни, оставаясь упругими, препятствуют пластическим деформациям среднего стержня. Таким образом, можно различать две стадии работы системы: упругую стадию, при которой усилия определяются написанными выше формулами, и упруго-пластическую, наступающую при переходе хотя бы одного стержня в пластическое состояние. Значение силы, при котором происходит переход от первой стадии ко второй, определяется из условия:

или

Во второй стадии, предполагая материал идеально пластичным, имеем:

Таким образом, задача об определении усилия решается с помощью одного только уравнения статики:

Отсюда

При дальнейшем увеличении силы и в наклонных стержнях наступает текучесть. Это уже текучесть всей системы в целом. Соответствующая сила называется несущей способностью системы и обозначается . Найдем ее из условия

Подставляя это значение в равенство (26.2) и решая его относительно получим:

Принимая один и тот же коэффициент запаса , получим следующие выражения для допускаемой нагрузки:

а) при расчете по допускаемым напряжениям

б) при расчете по допускаемым нагрузкам

Второй способ расчета приводит к ббльшим допускаемым нагрузкам, нежели первый (при на ). Состояние текучести системы из идеальнопластических элементов называется ее предельным состоянием, и расчет по допускаемым нагрузкам часто называется расчетом по предельному состоянию. Установленный для рассмотренного примера факт, состоящий в том, что расчет по предельному состоянию дает большую величину нагрузки, чем расчет по допускаемым напряжениям, является следствием общей теоремы, которая будет доказана в главе XV (§ 164).

Для определения несущей способности нет нужды рассматривать последовательно упругую и упруго-пластическую стадии работы, конструкции. Нужно просто составить уравнение равновесия, считая, что в каждом из стержней усилие есть .

Рассмотрим теперь совершенно произвольную стержневую систему самого общего вида; пусть степень ее статической неопределимости равна при числе стержней Занумеруем стержни цифрами от единицы до пусть длина стержня номер i есть напряжение в нем удлинение относительная деформация . Уравнения совместности деформаций в случае малых перемещений связывают удлинения стержней линейными соотношениями. Эти соотношения однородны, если не вводятся в рассмотрение натяги или зазоры, то есть не принимаются во внимание монтажные напряжения.

Удлинения всегда можно заменить относительными деформациями, поэтому самая общая запись уравнений совместности деформаций будет следующей:

Здесь — известные постоянные коэффициенты. Уравнения равновесия, из которых исключены реакции внешних связей, числом , также линейны; заменяя усилия через напряжения, можем записать эти уравнения следующим образом:

Здесь — коэффициенты, зависящие от геометрических характеристик, — некоторые линейные комбинации из внешних сил.

Запишем сокращенно полученную систему таким образом:

Пока внешние нагрузки невелики и вся система находится в упругом состоянии, напряжение и деформация в каждом стержне связаны законом Гука:

Заменяя в уравнениях (26.3) деформации через напряжения, получим полную систему уравнений для нахождения неизвестных напряжений в стержнях.

Предположим, что в стержне номер напряжение наибольшее. При увеличении внешней нагрузки в этом стержне прежде всего наступает текучесть. Считая пластичность идеальной, рассмотрим следующую стадию работы конструкции. Напряжение в стержне номер остается постоянным, для этого стержня закон Гука становится несправедлив, так как на пределе текучести деформация может быть произвольной. В уравнениях (26.3) появляется лишняя, неопределенная величина Исключая из этих уравнений получим уже уравнение совместности для деформаций оставшихся стержней в числе Так как число уравнений равновесия осталось прежним, система будет содержать всего уравнение. Таким образом, переход в пластическое состояние одного из стержней как бы понижает на единицу степень статической неопределимости системы.

Среди оставшихся упругими стержней один будет напряжен больше остальных, пусть это стержень номер s. При дальнейшем увеличении нагрузки этот стержень перейдет в пластическое состояние; в уравнениях (26.4) мы положим из уравнений (26.3) исключим удлинения получим уравнения совместности и так далее, до тех пор, пока в пластическое состояние не перейдет стержней. Появление пластической деформации в следующем стержне определяет предельную нагрузку, так как после этого система становится изменяемой.