§ 136. Устойчивость сжатого упругого стержня.
Решим теперь задачу, поставленную в предыдущем параграфе, с помощью метода, схема которого была дана в конце параграфа. Изгибающий момент в сечении с координатой z есть — 
. Поэтому дифференциальное уравнение изгиба будет
(136.1)
Присоединим к нему граничные условия
(136.2)
Уравнение (136.1) при граничных условиях (136.2) имеет очевидное тривиальное решение 
соответствующее прямолинейной форме равновесия. Нас интересуют ненулевые решения. Положим
и перепишем уравнение (136.1) так:
Его общий интеграл
(136.3)
Из первого граничного условия
из второго
(136.4)
Если принять 
то мы получим снова тривиальное решение. Полагая 
и
(136.5)
найдем те значения силы, для которых существует ненулевое решение. Из уравнения (136.5)
Следовательно,
(136.6)
Это так называемая формула Эйлера для критической силы. Если 
то прогиб по формуле (136.3) будет
Таким образом, мы установили, что если величина силы принимает дискретные значения, даваемые формулой (136.6), то возможны искривленные состояния стержня, имеющие форму синусоид. Очевидно, что 
должен быть наименьшим из главных моментов инерции.
Результаты произведенного анализа с физической точки зрения не могут нас удовлетворить. Константа А, определяющая величину прогиба, остается совершенно неопределенной, значит, одной и той же силе 
соответствует произвольный прогиб, равновесие оказывается безразличным. Далее, предположим, что сила больше первой критической силы, соответствующей значению 
и меньше второй, получающейся при 
Энергетические соображения § 135 убеждают нас в том, что стержень при этом искривится и прямолинейная форма равновесия существовать не может. Рассуждения же настоящего параграфа в этом случае не обнаруживают никаких иных форм равновесия, кроме прямолинейной, и не позволяют ничего сказать о ее неустойчивости. Причина всех этих несообразностей заключается в том, что уравнение (136.1) представляет собою не точное уравнение изгиба под действием продольной силы, а приближенное.
