Главная > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 171. Собственные частоты и главные формы колебаний.

Будем отправляться для определенности от уравнений (170.6), хотя те же результаты можно получить, если использовать уравнения в форме (170.7).

Рассматриваемая система — это система линейных однородных уравнений для неизвестных амплитуд свободных колебаний системы. При произвольных значениях со существует лишь тривиальное решение: . Условие существования нетривиального решёния состоит в равенстве нулю определителя системы:

Уравнение (171.1) представляет собою уравнение степени относительио , которое имеет корней, каждый из которых определяет собственную частоту системы. Таким образом, упругая система имеет столько собственных частот колебаний, сколько у нее степеней свободы.

Мы будем предполагать, что все корни уравнения (171.1) различны. Действительно, корни могут быть равными только тогда, когда коэффициенты податливости и массы грузов принимают совершенно определенные значения; достаточно немного изменить массу одного из грузов или жесткость какого-либо элемента системы, как корни станут различными. Таким образом, случай равных корней не может представлять каких-либо качественных особенностей, и нам нет необходимости на нем останавливаться.

Перенумеруем корни уравнения в порядке возрастания; соответствующие собственные частоты будут . Если внести в систему (170.6) значение равное она будет иметь отличные от нуля решения . Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собственной частоте колебаний, называется главной формой колебаний. Главные формы колебаний обладают свойством ортогональности, которое выражается следующими равенствами:

(171.2)

Для доказательства положим в (170.6) и перепишем это уравнение следующим образом:

Умножим обе части на mfli и просуммируем по индексу L Получим:

Но можно было поступить иначе, а именно принять в (170.6) и переписать это уравнение в виде

Умножив на и просуммировав по индексу I, получим:

В равенствах (171.3) и (171.4) левые части одинаковы, одинаковы и двойные суммы в правых частях, так как (§ 152) . Но поэтому равенства (171.3) и (171.4) могут выполняться, одновременно только тогда, когда двойная сумма равна нулю, а следовательно, справедливо соотношение ортогональности (171.2).

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что - комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень , являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды главной формы номер к будут также комплексными числами вида амплитуды главной формы номер будут комплексными сопряженными числам» Подставляя в условие (171.2), мы получим:

Но это равенство невозможно, так как в левой части все слагаемые положительные.

С другой стороны, величина со, полученная в результате решения уравнения (171.1), всегда положительна. Действительно, положим в (171.3) и запишем это равенство следующим образом, опуская верхние индексы:

Сумма, стоящая в левой части, всегда положительна, так как все слагаемые положительны, сумма в правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы, нагруженной силами (см. формулу (152.5)). Но, каковы бы ни были силы, энергия всегда положительна, поэтому двойная сумма в правой части положительна при любых значениях амплитуд .

Поэтому также необходимым образом должно быть положительно.

Амплитуды, соответствующие каждой из главных форм колебаний, определяются в результате решения системы линейных однородных уравнений, поэтому они известны с точностью до множителя. Чтобы сделать выбор амплитуд главных форм колебаний определенным, подчиним их условию нормирования.

(171.6)

Пример. Балка на двух опорах длины несет три одинаковые массы, расположенные на равных расстояниях между собою и от опор (рис. 259).

Рис. 259.

Прежде всего строим эпюры моментов от единичных сил и находим коэффициенты влияния по способу Мора:

Запишем матрицу коэффициентов влияния следующим образом:

Обозначим

Уравнение частот (171.1) примет следующий вид:

Раскрыв определитель, получим следующее кубическое уравнение:

Корни этого уравнения:

Соответствующие частоты:

Уравнения для амплитуд главных форм колебаний будут такие:

Здесь нужно последовательно принимать . Фактически всегда приходится рассматривать только два уравнения, в данном случае можно взять первое и второе. Одна из амплитуд может быть задана по произволу. Примем, например, во всех случаях. Получим:

Выполнение условий ортогональности легко проверяется.

Амплитуды каждой из главных форм можно умножить на любое число, подберем в каждом случае это число так, чтобы было выполнено условие нормирования. Нормированные главные формы колебаний будут следующие:

На рис. 260 изображены найденные главные формы колебаний.

Рис. 260.

1
Оглавление
email@scask.ru