§ 23. Статически неопределенные задачи на растяжение — сжатие.

Теперь мы можем перейти к решению статически неопределенных задач, понятие о которых было дано в § 3. Общий план решения статически неопределенной задачи состоит в следующем:

1. Рассматривая возможные перемещения точек системы, составляем уравнения, связывающие деформации отдельных элементов. Будем называть эти уравнения уравнениями совместности деформаций.

2.. Заменяем в уравнениях совместности деформаций величины деформаций через усилия или напряжения по закону Гука.

3. Составляем уравнения статики.

4. Решаем полученную систему уравнений.

Приводимые примеры поясняют эту схему.

Пример 1. Абсолютно жесткий брус веса О подвешен на трех параллельных проволоках, как показано на рис. 27. Расстояния между проволоками одинаковы. Сечении проволок тоже одинаковы, но материалы различны. Первая проволока — стальная , вторая — медная и третья — алюминиевая . Требуется определить усилия, возникающие в проволоках.

Условие геометрической связи между перемещениями состоит в том, что концы проволок А, В и С остаются на одной прямой. Отсюда

или, заменяя удлинения через усилия, получим:

Условия равновесия дают:

Из уравнений (23.1) и (23.2) получаем:

Пример 2. Система из трех одинаковых стержней (рис. 28) нагружена силой Р. Материал и площади сечения стержней одинаковы. Для определения усилий в стержнях строим диаграмму перемещений в порядке, обратном тому, который был принят в предыдущем параграфе.

Рис. 27.

Рис. 28.

Дадим узлу А произвольное перемещение АА и опустим из точки А перпендикуляры на направления стержней. Отсеченные отрезки представляют собою удли-. нення стержней. Уравнение, связывающее получается точно таким же способом, как в примере предыдущего параграфа. Используя найденный там результат, заметим, что вертикальное перемещение с одной стороны, равно с другой — выражается через по найденной там формуле, в которой нужно заменить через . Уравнение деформации имеет вид:

Дальнейший ход решения очевиден.

Пример 3. Болт с площадью сечения F, вставлен в трубку из того же материала с площадью сечения как показано на рис. 29. Приведя головку болта и шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, что она перемещается по нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить напряжения в болте и трубке.

Очевидно, что болт удлинится на величину трубка укоротится на Апричем сумма удлинения болта и укорочения трубки будет как раз А.

Имеем:

Отсюда

Здесь — растягивающее напряжение, — сжимающее.

Рассекая трубку и болт и составляя уравнение равновесия, получим:

В этом уравнении учтено, что — сжимающее напряжение. Решая (23.3) и (23.4), иайдем:

Во втором примере при составлении уравнений все удлинения считались положительными, поэтому и в уравнениях статики нужно считать все усилия положительными. В результате каждое усилие получится со своим знаком, который указывает на то, растянут данный стержень или сжат. В третьем примере мы имеем дело с абсолютными величинами удлинений и абсолютными величинами напряжений. В ответе как так и положительны, но мы заранее знаем, что — напряжение сжатия. Такой способ во многих случаях имеет преимущество естественности и наглядности.

Рис. 29.

Желая решить третий пример таким образом, чтобы знаки напряжений получились формально, запишем, что вследствие завинчивания гайкн удлинение болта больше, чем удлинение трубки, на величину . Таким образом,

Заметим, что это условие связывает возможные деформации болта и трубки, поэтому, желая сделать его наглядным, можно рисовать и болт и трубку удлиняющимися. Но тогда и напряжения нужно считать растягивающими и уравнение равновесия следует писать так:

Решая эти уравнения, получим тот же результат, что и ранее, но перед появится знак минус.

Иногда бывает удобнее видоизменить схему решения статически неопределенной задачи, выделив так называемые лишние неизвестные. Лишними неизвестными мы будем называть реакции тех связей, освобождение которых делает систему статически определимой. При решении задачи у системы освобождают столько связей, сколько нужно для превращения ее в статически определимую. Прикладывая реакции этих связей, выбирают их величины так, чтобы уничтожить деформации, ставшие возможными благодаря нарушению связей. Эти деформации удобно вычислять по отдельности от действующих сил и от неизвестных реакций, а потом складывать и сумму их приравнивать нулю.

Пример 4. Стержень, концы которого закреплены между неподвижными основаниями, нагружен продольными силами, как показано на рис. 30. Требуется определить напряжения на всех трех участках стержня.

Рис.

Освободив верхнюю заделку, мы даем возможность стержню сократиться на величину равную

Приложим теперь к верхнему концу неизвестную реакцию которая вытягивает стержень на величину равную

Сила X должна быть такой, чтобы в результате действия сил Р и силы X длина стержия не изменилась, поэтому

Отсюда

Теперь легко подсчитать, что на первом участке усилие на втором и на третьем .