§ 160. Уравнение трех моментов.

Для расчета неразрезной балки, то есть балки, лежащей более чем на двух опорах и не имеющей внутренних шарниров, наиболее удобный выбор основной системы состоит в том, что мы вставляем шарниры в балку над опорами, превращая ее таким образом в ряд однопролетных шарнирно опертых балок. Условимся нумеровать опоры от крайней левой по порядку, пролеты же — по левой опоре. Рассмотрим пролеты и , имеющие общую опору номер . Пусть — длина пролета.

Пару моментов, которую нужно, приложить к краям разреза на этой опоре, чтобы обеспечить непрерывность касательной, примем за одну из лишних неизвестных. Величина момента при этом равна величине изгибающего момента в балке неразрезанной.

Построим эпюры изгибающих моментов от обобщенной силы считая построим также эпюры от . Применяя правило перемножения эпюр, найдем (рис. 237):

Рис. 237.

Обозначая , площади эпюр моментов от внешних сил, построенных для каждого пролета, рассматриваемого как балка на двух опорах — расстояния центров тяжестей этих эпюр от соответствующих опор, показанные на рисунке, получим:

Внося выражение для в уравнение (159.1), получим:

Это и есть так называемое уравнение трех моментов. Если балка имеет опор, то опоры являются лишними и уравнение (160.1) нужно составлять раза, полагая последовательно . В частном случае, когда все пролеты имеют одинаковую длину и загружены одинаково, можно указать общее решение системы (160.1). Положим

Уравнение (160.1) примет следующий вид:

(160.2)

Это линейное разностное уравнение. Для таких уравнений применимы те же методы, что и для линейных дифференциальных уравнений. Будем искать частное решение уравнения (160.2) в виде

Легко видеть, подставляя предполагаемое решение в уравнение, что эта константа равна . Теперь будем искать общее решение однородного уравнения. Положим

Подставляя это выражение в уравнение (160.2), полагая и сокращая придем к следующему уравнению для нахождения с:

Отсюда

Общее решение уравнения (160.2) имеет, таким образом, следующий вид:

Рассмотрим балку, имеющую очень много пролетов, и нагрузим ее крайний левый конец моментом . Величина опорного момента должна по смыслу задачи убывать от одной опоры к другой. Поэтому в формуле (160.3) нужио принять . Получим:

При . Поэтому

Подсчитаем несколько опорных моментов:

Если число пролетов конечно и равно , постоянные найдутся из граничных условий, при моменты должны быть заданы. Получаем:

Решая эти уравнения, находим .

В качестве следующего примера применения уравнения трех моментов рассмотрим балку с заделанным концом, например изображенную на рис. 238. Вместо заделки продолжим балку влево и закрепим ее на двух опорах, номера которых расстояние между ними Сближая эти опоры, то есть приближая к нулю, мы получим заделку. Напишем уравнение трех моментов для положив в нем . Получим:

(160.4)

Рис. 238.

Для следующих пролетов уравнение трех моментов составляется обычным способом.