§ 88. Упруго-пластическое кручение стержня круглого сечения.

Для тонкостенной трубки достижение касательным напряжением величины предела текучести для касательных напряжений означает переход всего материала в пластическое состояние и появление больших деформаций. Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям такой трубки является одновременно расчетом по допускаемым нагрузкам. Для сплошного круглого стержня или толстостенной трубы появление пластичности в точках, близких к наружному контуру, еще не связано с заметными пластическими деформациями, так как большая часть материала еще упруга. За момент разрушения следует считать момент перехода всего материала в состояние пластичности.

Таким образом, здесь расчеты по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам не совпадают. Ввиду этого представляет интерес более детальное изучение поведения закрученного стержня при переходе за предел текучести. Примем за основу гипотезу идеальной пластичности. Как указывалось в главе VI, диаграмма подобна диаграмме ; на упругом участке справедлив закон Гука при рост напряжений прекращается.

По формуле (87.5) стержень находится в упругом состоянии, пока

При этом связь между моментом и углом закручивания следующая

В упруго-пластическом состоянии внутренняя часть сечения остается упругой, внешняя — пластической. В упругой части

в пластической

Граница между упругой и пластической областями находится из условия

Отсюда

Вычислим теперь момент. Составляя уравнение равновесия, как и в предыдущем параграфе, получим:

Выполним интегрирование и примем во внимание (88.1). Тогда

По мере роста угла закручивания величина радиуса упругого ядра безгранично уменьшается, стремясь к нулю, но никогда его не достигая. Величина стремится при этом к предельному значению, равному

Это предельное значение момента и следует принять за несущую способность стержня. Как видно, чтобы исчерпать несущую способность стержня сплошного круглого сечения, нужно приложить момент больший, чем момент, соответствующий появлению текучести, на .

Пользуясь формулой (87.4) для упругой области и формулой (88.2) для упруго-пластической, можно построить график зависимости между моментом и углом закручивания (рис. 122).

Рис. 122.

Заметим, что подробное рассмотрение условий работы стержня в упруго-пластической области нужно лишь для построения графика (рис. 122). Для нахождения несущей способности — а это наиболее важный вопрос — нет надобности рассматривать процесс перехода к предельному состоянию, достаточно предположить его уже достигнутым. Действительно, считая, что всюду получим:

Будучи практически целесообразным, этот способ рассуждения не может быть признан вполне строгим. Предельное состояние, при котором все сечение находится в пластическом состоянии, соответствует бесконечно большому углу закручивания и, следовательно, никогда не реализуется.