§ 41. Октаэдрическое напряжение.
В теории пластичности наряду с главными плоскостями и плоскостями главных касательных напряжений существенное значение имеют плоскости, пересекающие главные оси под одинаковыми углами. Таких плоскостей можно про вести восемь; для наглядности мы проводим их не через начало координат, а так, как изображено на рис. 51, чтобы они образовали октаэдр. Поэтому и сами плоскости будем называть октаэдрическими. Направляющие косинусы нормали к передней грани октаэдра суть
Рис. 51.
Выпишем вектор напряжения на этой грани:
Здесь 
— единичные векторы главных осей. Нормальное напряжение:
Среднее арифметическое из главных напряжений 
называют гидростатическим напряжением. Мы нашли, что на октаэдрической площадке нормальное напряжение равно гидростатическому. Перейдем к вычислению касательного напряжения на октаэдрической площадке. Воспользуемся формулой (39.5), в которой нужно принять:
Подставляя в (39.5), получим:
Величина
называется октаэдрическим касательным напряжением или интенсивностью касательных напряжений. С точностью до множителя это выражение представляет собой среднее квадратичное из трех главных касательных напряжений.
Ввиду той фундаментальной роли, которую играет величина октаэдрического напряжения для теории пластичности, естественно попытаться придать ей некоторую физически более наглядную трактовку. В § 49 будет дана энергетическая интерпретация этой величины, сейчас же мы приведем истолкование, принадлежащее В. В. Новожилову.
Вырежем мысленно в напряженном теле сферу бесконечно малого радиуса и вычислим среднее квадратичное значение касательного напряжения на поверхности сферы:
Здесь R — радиус сферы, 
— касательное напряжение, определяемое формулой (40.1), 
— элемент поверхности сферы; интеграл распространен на эту поверхность. Если 
координаты точек сферы, то направляющие косинусы нормали к ее поверхности
При интегрировании по поверхности нам встретятся интегралы двух типов:
Но 
для поверхности сферы, поэтому второй интеграл
По формуле (41.3) получим:
Отсюда
Таким образом, октаэдрическое касательное напряжение с точностью до множителя равно среднему квадратичному значению касательного напряжения на поверхности бесконечно малой сферы.
Вычислять величину множителя пропорциональности, то есть находить значение интеграла 
не имеет смысла, хотя это просто сделать.
