§ 102. Гипотеза плоских сечений и принцип Сен-Венана.

Ставя своей задачей определение только нормальных напряжений изгиба, в основу теории достаточно положить гипотезу о том, что плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации плоскими и перпендикулярными деформированной оси. Теория изгиба, построенная на гипотезе плоских сеченнй, была в основном завершена уже Л. Эйлером и носит название теории Бернулли — Эйлера или технической теории изгиба. Точная теория изгиба, построенная Сен-Венаном для того случая, когда балка загружена сосредоточенными силами, а также немногочисленные строгие решения задачи об изгибе распределенной нагрузкой приводят к заключению, что, хотя гипотеза Бернулли не вполне верна, все же основанные на ней расчеты оказываются весьма точными.

Рис. 147.

Гипотеза плоских сечений позволяет составить представление о характере деформированного состояния стержня. Рассмотрим два бесконечно близких сечения балки на расстоянии одно от другого (рис. 147). Попытаемся определить деформацию элемента параллельного оси и заключенного между двумя сечениями; длина его есть Поместим оси координат х и у в плоскости левого сечения, координаты точки суть х, у, 0; точки — суть . Будем изучать перемещение правого сечения относительно левого, считая последнее неподвижным. Деформация изгиба заключается в том, что правое сечение, во-первых, перемещается вдоль оси z на величину , во-вторых, поворачивается относительно оси х на угол и, наконец, поворачивается около оси у на угол .

Вследствие параллельного перемещения сечения отрезок получает удлинение следовательно, относительное удлинение его есть .

Вследствие поворота около оси х точка переместится на длину значит, относительное удлинение отрезка будет . Аналогично находим, что от поворота вокруг оси у удлинение есть . Полное удлинение отрезка есть

(102.1)

Легко видеть, что суть кривизны проекций изогнутой оси на координатные плоскости.

В теории изгиба употребляют термин «волокно», уподобляя сплошное вещество, из которого сделан стержень, веществу волокнистой структуры типа дерева. Нужно помнить, что такое уподобление неправильно. Мы будем называть волокном материальную линию, бывшую до деформации прямой, параллельной оси стержня. Координаты х и у точки пересечения волокна с плоскостью любого поперечного сечения назовем координатами волокна. Таким образом, уравнение (102.1) показывает, что удлинение волокна есть линейная функция его координат.

Рис. 148.

Для перехода к напряжениям важно отметить, что напряженное состояние волокна является состоянием простого растяжения; в плоскостях, параллельных оси стержня, нормальные напряжения отсутствуют. Последнее нужно понимать только в том смысле, что эти напряжения весьма малы по сравнению с остальными напряжениями изгиба. Действительно, обратимся к рис. 148, на котором изображена балка квадратного сечения со стороной b и длиной загруженная распределенным по верхней плоскости давлением . Вся сила, действующая на балку, есть

Пользуясь оценкой для , найдем:

Рассечем балку горизонтальной плоскостью. Очевидно, что в этой плоскости будут действовать нормальные напряжения о причем если плоскость близка к верхней граничной плоскости, то о весьма мало отличается от ; если плоскость сечения близка к нижней граничной плоскости, то мало отличается от нуля.

Поэтому

Сравнивая , видим, что очень мало по сравнению с . Если порядок малости касательных напряжений есть то порядок малости есть этим напряжением можно пренебрегать и подавно.

Итак, будем считать, что каждое волокно растягивается в продольном направлении, причем напряжение связано с законом Гука в его простейшей форме:

Из формулы (102.1) получаем:

(102.2)

Очевидно, рассуждения, приведшие нас к убеждению, что каждое волокно можно считать находящимся в условиях простого растяжения, теряют силу тогда, когда к балке приложена сосредоточенная сила. Части балки, непосредственно примыкающие к месту приложения сосредоточенных сил, не могут рассчитываться по схеме плоских сечений: здесь возникают местные напряжения. Область, в которой отступления от закона плоских сечений существенны, невелика, длина ее имеет порядок поперечного размера. Для изгиба сохраняет силу принцип Сен-Венана, подробно освещенный в § 17 для растяжения-сжатия. Все сказанное там сохраняет силу и для изгиба.

Подчеркнем, что гипотеза плоских сечений и принцип Сен-Венана справедливы лишь для длинных стержней сплошного профиля, то есть имеющих поперечные размеры одного порядка. Для тонкостенных стержней, когда один поперечный размер значительно больше другого, оценки относительных порядков величин нормальных и касательных напряжений перестают быть справедливыми, гипотеза плоских сечений теряет силу и принцип Сен-Венана становится неприменимым.