§ 17. Принцип Сен-Венана и гипотеза плоских сечений.
Будем говорить, что стержень растягивается, если к торцам его приложены системы сил, статически эквивалентные одной силе, действующей по оси стержня, как это показано на рис. 17.
Рис. 17.
На рисунке действующие нагрузки изображены в виде сил, приложенных в центрах тяжести торцов стержня, но эти сосредоточенные силы здесь совершенно условны. На самом деле нагрузка прикладывается к концу стержня каким-либо реальным способом; на рис. 18 схематически изображены некоторые из таких возможных способов передачи нагрузки на стержень.
В машинах для испытания на разрыв круглый образец либо захватывается губками с насечкой (рис. 18, б), либо имеет головку (рис. 18, в). На рис. 18, г изображен конец тяги, снабженный нарезкой. На этот конец навертывается гайка, опирающаяся на плоскость плиты, в которой просверлено отверстие для тяги. Растягивающее усилие передается от гайки к тяге, распределяясь по виткам нарезки.
Подобных конкретных случаев передачи растягивающего усилия стержню можно указать очень много, все они будут различны, и, казалось бы, все их нужно изучать по отдельности.
Однако при расчете стержней на растяжение не считаются с индивидуальными особенностями, зависящими от конкретного способа приложения нагрузки, а принимают во внимание только равнодействующую всех сил, приложенную к каждому из концов стержня.
Рис. 18.
При этом руководствуются правилом, которое принято называть принципом Сен-Венана, по имени французского ученого (1797—1886), который дал точное решение задач о кручении и изгибе стержней и при этом сформулировал принцип, носящий его имя и приложимый не только к растяжению сжатию, но также к кручению, изгибу и многим другим задачам сопротивления материалов и теории упругости. Формулировка этого принципа в применении к рассматриваемой задаче может быть следующей:
Способ приложения силы к торцу стержня сказывается лишь в непосредственной близости к торцу.
Несколько расплывчатая формулировка (неясно, что значит «непосредственная близость») объясняется тем, что этот принцип не есть положение, строго доказанное для самого общего случая. Многочисленные опыты и теоретические исследования неизменно обнаруживали весьма быстрое затухание по мере удаления от торца тех напряжений, которые связаны с неравномерностью распределения усилий по торцу, — так называемых местных напряжений. Практически, если поперечные размеры стержня одного порядка, эти местные напряжения становятся неощутимыми на расстоянии от торца порядка поперечного размера. В тонкостенных стержнях дело может обстоять иначе (см. главу IX, § 109 и гл. XI).
Это значит, что для всех изображенных на рис. 18 случаев напряженное состояние будет различным только в незаштрихованной части. Напряженное состояние в части стержня, удаленной от конца (на чертеже заштриховано), будет во всех случаях одним и тем же состоянием простого растяжения, напряжения во всех точках становятся при этом одинаковыми, направленными по нормали к поперечному сечению стержня. Область, близкая к месту приложения силы, будет областью местных напряжений, учет которых составляет особую задачу.
Поскольку в соответствии с принципом Сен-Венана напряженное состояние в средней части стержня не зависит от способа приложения силы, оно будет тем же самым, что и в простейшем случае, изображенном на рис. 11, когда к торцам приложена равномерно распределенная нагрузка, параллельная оси стержня. Это иапряжеиное состояние однородно, во всех точках поперечного сечения напряжения равны и параллельны оси стержня. Каждый элемент объема деформируется совершенно одинаково, торцы изображенной на рис. 11 призмы после приложения нагрузки раздвинутся, но останутся плоскими и параллельными между собой. Этот факт — сохранение плоских сечений при растяжении — иногда кладут в основу всей теории как фундаментальную гипотезу плоских сечений, формулируемую так:
Сечения, перпендикулярные оси стержня и плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации.
Конечно, плоскими остаются только такие сечения, которые удалены от места приложения силы на расстояние, порядок которого не меньше порядка поперечного размера.
Все изложенное относится также и к случаю сжатия, который формально отличается от случая растяжения только изменением направления силы. Фактическая разница между растяжением и сжатием гораздо глубже, потому что при сжатии может возникнуть новое явление — потеря устойчивости. Центрально сжатый прямой стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, может сохранять прямолинейную форму лишь тогда, когда сжимающая сила меньше некоторого критического значения. При небольшом эксцентриситете приложения силы или при малом искривлении оси стержня, неизбежном в действительности, сжимающая сила, хотя бы и меньшая критической, вызывает не только сжатие, но и изгиб. При этом эффект изгиба часто оказывается гораздо больше, чем эффект сжатия. С этим обстоятельством нужно считаться при расчете сжатых стержней, ему будет посвящена одна из глав нашего курса. Здесь же мы не делаем принципиальной разницы между растяжением и сжатием, будем лишь приписывать растягивающим напряжениям знак плюс, сжимающим — минус.
