§ 165. Примеры определения предельной нагрузки статическим методом.

Метод приближенного определения предельной нагрузки путем подбора статически возможного состояния мы будем называть статическим методом. Этот метод дает для предельной нагрузки всегда приближение снизу. Если нам представляется возможность перебрать все статически возможные состояния и найти такое состояние, которому соответствует наибольшее значение нагрузки, то это значение будет точным.

Рассмотрим в качестве примера неразрезную балку, состоящую из двух равных пролетов и нагруженную по всей ее длине 21 сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 179). Величину этой нагрузки требуется найти. Обозначим через X реакцию крайней опоры. Давая X всевозможные значения, мы переберем все статически возможные состояния балки. Условие того, что наибольший изгибающий момент равен позволит определить для каждого значения X величину нагрузки q, максимальная нагрузка будет соответствовать предельному состоянию. Изгибающий момент в сечении с координатой х:

Максимальное значение момента, как легко видеть, достигается при . Требуя, чтобы модуль этого момента не превышал получим:

С другой стороны, максимальное значение момента может быть достигнуто на средней опоре при . Оно равно . Из условия, что абсолютная величина этого момента не превышает найдем:

Введем безразмерные величины Полученные неравенства перепишутся таким образом:

На рис. 244 штриховкой показана область, в которой выполняются неравенства (а) и (б).

Рис. 244.

Наибольшее значение нагрузки соответствует точке А, где пересекаются парабола и прямая . Абсцисса этой точки соответствующее значение нагрузки максимальное значение момента в пролете достигается при . Это решение совпадает с тем, которое было найдено в § 121 без строгого обоснования. Анализ подобного рода становится затруднительным, если система имеет более высокую степень статической неопределенности, когда приходится искать максимальное значение предельной нагрузки как функции нескольких параметров.

Второй пример, который мы здесь рассмотрим, носит несколько менее элементарный характер. Стержень круглого поперечного сечения радиуса нагружен продольной силой Р и крутящим моментом требуется найти распределение напряжений и соотношение между силой и моментом в предельном состоянии.

Растягивающая сила вызывает нормальные напряжения , крутящий момент — касательные напряжения , как то, так и другое являются функциями от радиуса Q. Они удовлетворяют условию пластичности Мизеса

Примем за искомую неизвестную функцию тогда . Растягивающая сила и крутящий момент выразятся через следующим образом:

Задаваясь произвольной функцией мы будем получать различные статически возможные состояния. Одно из этих состояний является истинным; чтобы найти его, нужно найти условие максимума силы при фиксированном значении момента или наоборот.

Получается так называемая задача об условном экстремуме. Следуя общему правилу вариационного исчисления, составляем функционал

Здесь

Условие экстремума будет следующее:

В данном случае

Отсюда находим

Из условия пластичности определяем

Таким образом, распределение напряжений оказалось зависящим от параметра X, характеризующего соотношение между растягивающей силой и крутящим моментом. На рис. 245 построены соответствующие эпюры распределения напряжений (Надаи).

Рис. 245.

Прием, с помощью которого удалось решить последнюю задачу, приводит к результатам только в одномерном случае, когда искомая функция зависит от одной координаты. Случаи кручения с изгибом, например, или кручения и растяжения стержней некруглого сечения чрезвычайно трудны для исследования, и точные решения здесь отсутствуют.