§ 39. Главные напряжения.

Поставим теперь такую задачу: нельзя ли найти площадку, на которую действуют только нормальные напряжения? Предположим, что такая площадка существует, и пусть это будет площадка с нормалью причем напряжение на ней (рис. 49). Так как направление совпадает с направлением , то

Подставляя эти выражения в формулы (38.2), получим:

Это система трех линейных однородных уравнений относительно трех неизвестных направляющих косинусов . Нетривиальное решение существует лишь тогда, когда детерминант системы равен нулю. Отсюда получаем кубическое уравнение для :

В алгебре доказывается, что все три корня подобного уравнения всегда действительны, следовательно, существуют три площадки, свободные от касательных напряжений. Мы не будем ссылаться на эту теорему, а пойдем обходным путем. Заметим прежде всего, что уравнение (39.2) имеет, по крайней мере один действительный корень (комплексных корней может быть только пара). Обозначив этот корень через подставим величину , в уравнении (39.1) и разрешим их относительно Система делается определенной вследствие дополнительного условия

и мы находим направление нормали к площадке, на которой действует только нормальное напряжение .

Рассмотрим теперь какой-либо прямоугольный параллелепипед, вырезанный из материала так, что одно из измерений его направлено но оси 3 (рис. 50).

Рис. 50.

Грани, перпендикулярные осям , находятся под действием напряжений, параллельных плоскости . Это следует из закона парности касательных напряжений: поскольку плоскость, перпендикулярная оси 3, свободна от касательных напряжений, параллельные этой оси плоскости не имеют составляющих касательных напряжений по направлению оси 3. Таким образом, получается плоское напряженное состояние с компонентами (на чертеже не показаны), на которое накладывается растяжение или сжатие в направлении оси 3. Ясно, что напряжение , не оказывает никакого влияния на напряжения в площадках, параллельных оси 3, поэтому, применяя теорию плоского напряженного состояния, всегда можно найти такие две взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. Нормальные напряжения на них обозначим направления нормалей примем за оси 1 и 2.

Итак, существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями тензора напряжений, обладающие тем свойством, что на перпендикулярных к ним площадках действуют только нормальные напряжения, так называемые главные напряжения. В тех задачах сопротивления материалов, где речь идет о трехмерном напряженном состоянии, главные оси обычно известны заранее.

Нумерация главных осей и главных напряжений может быть произвольной; в дальнейшем мы условимся для удобства нумеровать их так, чтобы было

Если взять за оси координат главные оси, то формулы для составляющих вектора напряжения на площадке с нормалью я примут очень простой вид:

Здесь направляющие косинусы нормали к площадке по отношению к главным осям.

Нормальное напряжение на площадке находится проектированием вектора 5 на направление нормали:

Величина касательного напряжения на той же площадке:

Легко убедиться в том, что главные напряжения представляют собою те экстремальные значения, которые принимает нормальное напряжение при всевозможных поворотах площадки. Из формулы (39.4) следует:

Знак равенства при этом возможен только тогда, когда либо .