ГЛАВА VIII. ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

§ 95. Основные определения.

Содержание этой главы носит чисто геометрический характер и представляет собою введение к теории изгиба. Моментами плоской фигуры относительно системы координат вообще называются интегралы следующего вида, распространенные по площади:

Здесь Р — однородный полином относительно х и у.

При нахождении центров тяжести плоских фигур встречаются с моментами первого порядка:

Очевидно, всякий другой момент первого порядка, то есть интеграл от некоторой однородной линейной функции координат, выражается линейным образом через . Эти величины носят название статических моментов, потому что нахождением центров тяжести плоских фигур занимается статика. Если представить себе, что фигура вырезана из тонкого листа постоянной толщины и находится в однородном силовом поле, то равнодействующая сил тяжести при любом положении фигуры окажется приложенной в центре тяжести, то есть в точке с координатами которые определяют по формулам:

Три момента второго порядка:

достаточны для того, чтобы вычислить любой момент второго порядка, который представится линейной комбинацией вышенаписанных. Два первых называются осевыми моментами инерции относительно осей х и у соответственно, последний — центробежным моментом инерции.

Самый термин «момент инерции» заимствован из динамики, где с аналогичными интегралами встречаются, изучая вращение тяжелой однородной фигуры.

Из двух осевых моментов можно построить полярный момент инерции. Действительно,

Определение полярного момента инерции ничем не связано с осями координат, а зависит от положения точки О. Таким образом, мы установили, что сумма осевых моментов инерции относительно любой пары перпендикулярных осей, проходящих через заданную точку, есть величина постоянная.

Аналогичным образом можно строить моменты более высокого порядка третьего, четвертого и т. д.