ГЛАВА XV. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

§ 161. Жестко-пластическое тело.

В предыдущих разделах мы неоднократно рассматривали задачи о предельном равновесии стержней и стержневых систем из идеально-пластнческого материала. Основная трудность при решении этих задач состоит в том, чтобы правильно определить положение пластического шарнира в балке или установить, какие именно стержни перейдут в пластическое состояние, если мы имеем дело с фермой.

Можно, конечно, как мы иногда делали, рассмотреть сначала упругое состояние системы. Наиболее напряженный элемент первым перейдет в пластическое состояние при возрастании внешних сил. После этого мы должны рассматривать состояние упруго-пластическое, чтобы выяснить, какой элемент перейдет в пластическое состояние во вторую очередь, и продолжать подобным образом до тех пор, пока мы не дойдем до исчерпания несущей способности системы. Такой путь чрезвычайно сложен и громоздок, к тому же он вносит элемент, являющийся для теории предельного равновесия чуждым, а именно представление о переходе от упругого состояния к пластическому. Действительно, в предельном состоянии те элементы, которые не достигли предела текучести, образуют кинематически изменяемую систему и малые упругие деформации этих элементов не играют никакой роли по сравнению со сколь угодно большими деформациями пластических элементов. Поэтому в самом начале при определении предельного состояния мы можем принять за исходный пункт не схему упруго-пластического материала, а схему материала жестко-пластического, который совсем не деформируется при и получает возможность неограниченной деформации при Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией для такого материала изображена на рис. 239. Если встать на эту точку зрения, то путь нахождения предельного состояния, отправляясь от состояния упругого, представляется крайне искусственным.

Некоторые общие теоремы, излагаемые в этой главе, позволят решить поставленную задачу более прямым и простым путем.

Предварительно нам нужно несколько уточнить представление о жестко-пластическом теле, которое будет лежать в основе дальнейших рассуждений, хотя окончательные результаты применимы и для упруго-пластического тела. Рассматривая изгиб, например, балки из упруго-пластического материала без упрочнения, мы получаем диаграмму зависимости между изгибающим моментом и кривизной, состоящую из трех участков: упругого, упруго-пластического криволинейного и горизонтального участка, соответствующего исчерпанию несущей способности (см. рис. 136, § 107). Переход от упругого состояния к полностью пластическому нас интересовать не будет, поэтому мы заменим эту диаграмму подобной той, которая изображена на рис. 239.

Рис. 239.

Это значит, что мы считаем, как будто балка совсем не деформируется, пока изгибающий момент меньше чем и получает возможность неограниченно изгибаться, когда момент достигает этого предельного значения.

В § 76 мы ввели понятие об ассоциированном законе течения.

Если, например, , — главные напряжения и — условие пластичности, то скорости деформации по главным направлениям пропорциональны частным производным функции по соответствующим направлениям. Условие пластичности может быть истолковано как уравнение поверхности в пространстве ; если элемент находится в предельном состоянии, этому состоянию соответствует точка М на поверхности нагружения. Радиус-вектор этой точки с имеет компоненты . Частные производные пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности нагружения в точке , поэтому, если изображать состояние течения элемента вектором с компонентами этот вектор будет направлен по нормали к поверхности нагружения в точке М (рис. 240). Поверхность нагружения по Мизесу представляет собою круговой цилиндр, равнонаклоненный по всем трем осям, по Сен-Венану - вписанную в этот цилиндр шестигранную призму. Существенно заметить, что эта поверхность выпукла.

Рис. 240.

Существуют материалы, для которых условие предельного состояния отлично от условия Мизеса или Сен-Венана, например грунты;

Излагаемая теория применима и к таким материалам; единственное ограничение состоит в том, чтобы поверхность нагружения была выпуклой.