§ 134. Некоторые примеры стесненного кручения.

Общее решение задачи о стесненном кручении тонкостенного стержня дается формулой (133.2). Величина представляет собою крутящий момент в сечении с координатой , который определяется аналогично изгибающему моменту в теории изгиба: это есть сумма моментов относительно оси z всех сил, действующих слева от сечения с координатой z, или сумма сил, действующих справа от сечения, взятая с обратным знаком. В реальных конструкциях на стержни действуют или сосредоточенные моменты, или моменты, равномерно распределенные по длине. На рис. 204 схематически показан стержень, загруженный моментом М в сечении с координатой и непрерывно распределенным моментом интенсивности на единицу длины на участке

Рис. 204.

Крутящий момент, создаваемый сосредоточенным моментом М, равен . Действительно, этот момент равен нулю при и равен М при .

Крутящий момент от распределенного момента равен нулю при равен при и сохраняет постоянное значение ) при . Это можно записать следующим образом:

Чтобы применить формулу (133.2), нужно вычислить интегралы от функций умноженных на . Но эти интегралы вычислялись в § 124. Поэтому при сделанных ограничениях нагрузки формулу (133.2) можно переписать следующим образом:

(134.1)

Нам понадобятся еще выражения для бимомента , для изгибно-крутильного момента и для угла поворота сечения

(134.2)

Выражения, заключенные в квадратные скобки в формулах (134.2) и (134.4), должны считаться равными нулю при или z с соответственно. Символ поставленный над знаком суммы, указывает, что, например, в формуле (134.2) член пишется только тогда, когда сделанная оговорка заставляет отбрасывать при и стоящую рядом отрицательную единицу. Более корректная и исключающая всякую, неясность запись была бы следующей:

(134.2)

Здесь при при . Для определения постоянных необходимо помнить, что в том сечении, которое не искривляется, а там, где нет нормальных напряжений.

Пример 1. Тонкостенная трубка разрезана вдоль образующей на длине и закручивается приложенными на концах моментами. Требуется определить угол закручивания (рис. 205).

Рис. 205.

Считаем неразрезанные концы трубки бесконечно жесткими и соответствующие сечения неискривляющимися.

Тогда . По формуле (134.1) получаем:

Отсюда

Теперь мы можем определить полный угол закручивания по формуле (134.4), подставив в нее найденное значение положив и удержав член, соответствующий сосредоточенному моменту при . Получим:

Если бы трубка была разрезана по всей длине (нестесненное кручение), связь между углом закручивания и моментом была бы следующей:

Стеснение кручения повышает жесткость, в полученной формуле как бы фигурирует уменьшенная длина трубки. Величина для разрезанной трубки равна . Если то выражение, заключенное в квадратную скобку в формуле для мало отличается от l; если l мало по сравнению с гиперболические функции можно разложить в ряды. Удерживая первые неуничтожающиеся члены, получим:

Бимомент достигает наибольшей величины в концевых сечениях трубки:

По формуле (131.4)

На рис. 206 построена эпюра нормальных напряжений для концевого сечения.

Рис. 206.

Отложенная по радиусу величина представляет собою .

Наибольшее значение нормального напряжения достигается при (или ):

Аналогичным образом можно подсчитать крутильные и изгибно-крутильные напряжения.

Пример 2. Балка швеллерного сечения равномерно загружена по поверхности верхней полки; эту равномерную нагрузку можно заменить нагрузкой вдоль линии, проходящей по середине полки. Таким образом, линейная нагрузка q приложена в плоскости, проходящей через середины полок (рис. 207). Крутящий момент на единицу длины равен моменту этой нагрузки относительно оси, проходящей через центр изгиба: . Здесь t — расстояние от середины стенки до центра изгиба. Будем считать, что балка имеет длину концы ее шарнирно оперты и не могут поворачиваться относительно оси z, но они могут свободно перемещаться вдоль оси z; нормальные напряжения, а следовательно, и бимоменты равны нулю на концах.

Рис. 207.

Для нахождения бимомента воспользуемся уравнением (134.2), положив в нем . Из условия получим:

и, следовательно,

Наибольшее значение бимомента достигается в середине балки при :

В этом же сечении будет наибольший изгибающий момент.

Для того чтобы оценить значение секториальиых напряжений, укажем, что для швеллера № 20-а при длине балки и нагрузке наибольшее напряжение от равно а от бимомента причем эти напряжения складываются. Секториальные характеристики для стандартных профилей приводятся в литературе (см., например, «Расчеты на прочность в машиностроении», т. 1, Машгиз, 1956).