§ 124. Продольно-поперечный изгиб.

Рассмотрим стержень, на который, кроме поперечной нагрузки, действует продольная сжимающая или растягивающая сила. Пока стержень был прямым, эта сила вызывала только растяжение или сжатие стержня; как только стержень изогнулся, сила Р (рис. 183) создает в сечениях изгибающий момент. В случае а) этот момент от силы Р. в сечении с координатой z есть где v — прогиб. В случае б) момент есть . Через мы обозначили величину . Эта величина является неизвестной постоянной, отнесем ее к поперечным нагрузкам, момент от которых в сечении с координатой z есть .

Таким образом, полный изгибающий момент

Внесем это выражение в уравнение изгиба (116.4). Получим:

Это и есть уравнение продольно-поперечного изгиба. В дальнейшем нужно рассматривать отдельно два случая.

Рис. 183.

1. , сила растягивает стержень. Положим

Перепишем уравнение (124.1) следующим образом:

Применим к нему метод, изложенный в предыдущем параграфе. Частные решения соответствующего однородного уравнения

удовлетворяют условиям, поставленным для функции Действительно, при производная же этой функции, то есть обращается при в единицу. Таким образом,

По формуле (123.6)

(124.3)

Это и есть общее решение уравнения продольно-поперечного изгиба. Вычислим входящий в формулу (124.3) интеграл для некоторых видов нагрузок.

а) Момент М в сечении

или

Эта формула пригодна, если . Если то этот интеграл равен нулю.

б) Сосредоточенная сила Q в сечении

Если то этот интеграл равен

Если , то этот интеграл равен

Интегрируя по частям, получим для него следующее выражение:

Таким образом, для балки, загруженной моментами и сосредоточенными силами,

(124.4)

Здесь, как и в формуле (118.5), суммирование распространяется на те силы или моменты, которые приложены слева от рассматриваемого сечения. сила сжимает стержень. Обозначим теперь через величину — Уравнение продольно-поперечного изгиба принимает вид:

(124.5)

Решение строится буквально так же, как для растягивающей силы, только вместо гиперболических функций будут функции тригонометрические.

Не повторяя выкладок, напишем результат:

(124.6)

Для балки, загруженной моментами и сосредоточенными силами, интеграл принимает следующий вид:

(124.7)

Приведем пример применения этого уравнения. Балка, лежащая на двух опорах сжимается двумя силами, приложенными с эксцентриситетом .

Рис. 184.

В концевом сечении приложен, таким образом, момент По формуле (124.7)

Постоянную определим из условия

Отсюда

Подставляя это в выражение для прогиба, получим:

(124.8)

Если бы сила была растягивающей, в формуле (124.8) следовало бы заменить тригонометрические функции гиперболическими:

Явления продольно-поперечного изгиба при растяжении и сжатии протекают качественно совершенно по-разному.

Предположим, что мы увеличиваем растягивающую силу Р. Тогда увеличивается k, гиперболические синус и косинус монотонно возрастают, разница между ними сглаживается, и прогиб v, определяемый формулой (124.9), стремится к нулю. Растягивающая сила как бы повышает жесткость системы, увеличение ее уменьшает прогибы. Совершенно иначе обстоит дело, если сила сжимает стержень. При значениях параметра кратных я, обращается в нуль в знаменателе последнего члена формулы (124.8). Таким образом, прогиб обращается в бесконечность при некоторых конечных значениях силы.

Не останавливаясь пока подробно на этом факте, заметим, что он лежит в основе теории устойчивости упругих систем, рассмотренной в главе XII курса.