§ 162. Поверхности нагружения.

В сопротивлении материалов, когда рассматриваются стержни и стержневые системы, удобно иметь дело не с напряжениями в каждой точке, а с их интегральными характеристиками, усилиями и моментами в сечении. Вводя понятия обобщенных усилий в сечении, мы не будем делать разницы между усилиями и моментами, обозначая их одинаково через . Соответствующие обобщенные деформации будут а обобщенные скорости деформаций — . Если Q — продольное усилие, a — изгибающий момент, например, то будет относительное удлинение стержня, а — изменение кривизны. Условие предельного состояния для сечения всегда может быть записано следующим образом:

Поверхность можно также назвать поверхностью нагружения, она всегда будет выпуклой, а обобщенные скорости деформации будут пропорциональны частным производным функции F. Прибегая к геометрической интерпретации, мы можем и здесь изображать состояние течения вектором q с составляющими , если состояние сечения стержня изображается точкой М поверхности нагружения, то вектор скорости будет направлен по нормали к этой поверхности в точке М (рис. 240). Фактическое нахождение условия предельного состояния стержня затруднительно и само по себе представляет сложную задачу теории пластичности, которая может быть решена лишь для частных случаев.

Рис. 241.

В качестве примера рассмотрим уже разобранную по существу в § 112 задачу о совместном действии изгиба и растяжения или сжатия на Стержень прямоугольного сечения; приведенный там анализ мы дополним исследованием скоростей деформации. Обозначим продольную силу через изгибающий момент через высота сечения пусть будет , ширина смещение нейтральной оси . Тогда представляет собою удлинение средней линии, - кривизну. Очевидно, что . Эпюра распределения напряжений показана на рис. 241. Подсчитывая продольную силу и изгибающий момент, найдем:

Исключая отсюда , получим условие предельного состояния:

Легко проверить справедливость ассоциированного закона течения. Действительно, отсюда . Поскольку мы имеем дело с двумя обобщенными силами в сечении, поверхностью нагружения будет кривая в плоскости состоящая из дуг двух парабол (рис. 242). Вектор q направлен по нормали к кривой. В точках А и В направление нормали неопределенно, следовательно, вектор скорости q может принимать любое направление внутри угла, образованного нормалями к каждой из парабол в точке их пересечения. Действительно, если стержень переведен в пластическое состояние путем растяжения, деформация его будет не обязательно деформацией только растяжения, он может одновременно изгибаться произвольным образом, единственное ограничение состоит в том, чтобы при этом не было разгрузки, следовательно, было .

Рис. 242.