ГЛАВА XII. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО И ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

§ 135. Постановка вопроса об устойчивости.

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них будут устойчивыми, другие неустойчивыми. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 208). Прямолинейная форма стержня в этом случае всегда является формой возможного равновесия. Для суждения об устойчивости ее предположим, что мы приложили к стержню некоторую поперечную силу и деформировали стержень, произведя прогиб v (z). При этом мы затратили работу А. Правый конец стержня сместился на величину Д. Работа А пошла на накопление потенциальной энергии деформации стержня U. В то же время сила Р совершала работу на перемещении А. Эта работа положительна, так как направления силы и перемещения совпадают. Поэтому сила Р как бы помогает прогибу стержня, и уравнение работ будет следующее:

(135.1)

Рис. 208.

Теперь могут представиться два случая. Если сила Р невелика, мы имеем:

(135.2)

Величина А положительна, значит, для искривления стержня нужно затратить некоторую работу. В искривленном состоянии запас потенциальной энергии деформаций превышает ту величину, которая необходима для преодолении сопротивления силы Р на пути А, то есть для распрямления стержня. Если, наоборот, сила Р велика, то

(135.3)

Величина А отрицательна, значит, стержень сам прогибается от действия силы Р, и поперечная сила представляет собою силу сопротивления; ее нужно приложить, чтобы прогиб происходил не слишком быстро. В искривленном состоянии запас энергии недостаточен для распрямления стержня. Если выполнено неравенство (135.3), то одной и той же силе соответствуют два состояния равновесия, но прямолинейное состояние неустойчиво: если стержень вывести из него, он выпрямиться не сможет. Условие перехода от устойчивого состояния к неустойчивому будет следующее:

(135.4)

Сила называется критической силой.

К вопросу об устойчивости можно подойти и иначе, не обращаясь к энергетическим соображениям. Составив дифференциальное уравнение изгиба стержня под действием продольной силы, поставим задачу о том, при каких условиях решение этого уравнения не един ственно, то есть возможно существование различных форм равновесия. Ход рассуждений лучше всего проследить на примере.