§ 48. Условия пластичности для плоского напряженного состояния.

Обозначим главные оси тензора напряжений для плоского напряженного состояния через . Величины главных напряжений могут быть какими угодно, и в зависимости от этого главные напряжения будут отождествляться с , или . Запись условия пластичности Треска — Сен-Венана будет при этом получаться различной. Рассмотрим все возможности, которые могут представиться.

1. . В этом случае наибольшее из трех главных напряжений есть примем его за . Наименьшим напряжением является равное нулю напряжение на площадках, принадлежащих плоскости .

Таким образом,

Используя условие (46.2), получим:

II. . При этом

Условие пластичности:

III. . Условие Треска принимает следующий вид:

IV. . Условие пластичности будет тем же, что и в третьем случае, только меняются местами:

Аналогично предыдущему рассмотрим еще два случая, когда оба напряжения и отрицательны:

V. .

VI. .

Выписанные условия легко изобразить графически. Будем откладывать по оси абсцисс , а по оси ординат (рис. 55). Проведем биссектрису координатного угла.

Рис. 55.

Оси координат и эта биссектриса разбивают плоскость на шесть частей, в каждой из которых выполняется одно из вышеприведенных неравенств. В каждой части плоскости условия пластичности изображаются прямой, отрезки этих прямых образуют показанный на рис. 55 шестиугольник. Теперь легко понять, почему условие Треска—Сен-Венана не всегда оказывается удобным в применении. Если напряженное состояние в теле неоднородно, то в различных частях его могут быть осуществлены любые соотношения между и <т поэтому для разных областей одного и того же тела приходится пользоваться различными аналитическими формами условия пластичности. С другой стороны, линейность всех этих условий иногда оказывается чрезвычайно выгодной и удобной.

Применяя к случаю плоского напряженного состояния условие Мизеса, мы не должны задумываться о том, какой номер следует присвоить напряжению какой — напряжению результат всегда будет одинаковым. Примем для определенности, например, . Подставляя в условие (47.2), получим:

В координатах это — уравнение эллипса. Легко проверить, что эллипс Мизеса проходит через вершины шестиугольника Треска — Сен-Венана, главные оси его направлены по биссектрисам углов между осями координат.

В заключение выпишем условия пластичности по двум теориям для общего случая плоского напряженного состояния, когда известны компоненты тензора напряжений относительно произвольных осей координат х, у. Главные напряжения находятся по формулам (36.7):

При этом всегда поэтому случаи II, IV и VI применения условия пластичности Треска — Сен-Венана отпадают. Если осуществляется случай I и условие пластичности имеет вид:

Если мы получаем случай III, следовательно,

Наконец, если и наибольшее напряжение равно нулю, реализуется случай V и мы имеем:

По теории Мизеса после простых преобразований из формулы (48.1) получается:

Таким образом, если направления главных осей заранее неизвестны, преимущества линейности условия Треска утрачиваются и условие Мизеса, которое описывается только одним аналитическим выражением, оказывается более простым.