§ 172. Представление произвольной конфигурации системы через главные формы. Главные координаты.
Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей 
степеней свободы. Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сил, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать 
перемещений 
. Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению 
координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того, чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые 
чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можио принять произвольные линейные комбинации из величин 
лишь бы они были независимы. Предположим, что главные формы колебаний системы известны. Введем координаты 
, соответствующие данной конфигурации, следующим образом:
или, более коротко,
(172.1)
Для того чтобы показать законность выбора величин 
в качестве координат, нужно убедиться в том, что из уравнений (172.1) величины 
определяются единственным образом. Свойство ортогональности главных форм колебаний позволяет очень просто решить уравнение {172.1) относительно 
.
Для этого умножим уравнение (172.1) на и просуммируем по индексу 
. Получим:
Переставим в двойной сумме порядок суммирования. В силу условий ортогональности и нормирования те суммы по 
которые относятся к неравным между собой k и s, обратятся в нули, при 
соответствующая сумма равна единице. В результате из всей двойной суммы останется один только член 
и мы получим:
(172.2)
Введенные нами координаты и, называются главными координатами системы.
Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности главных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 261 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой:
Рис. 261.
Положим
Уравнение частот будет следующее:
Корни его:
Нормированные главные формы колебаний определяются величинами
или
Если через центр груза провести оси координат — горизонтальную ось 
и вертикальную ось 
величины 
будут компонентами по осям 
двух векторов 
, (рис. 261).
Ортогональность главных форм колебаний нужно понимать в это» случае буквально, как ортогональность соответствующих векторов.
Направим оси координат 
, по векторам, соответствующим главным формам колебаний. Для рассмотрения динамики системы оси координат 
более естественны, чем случайно выбранные оси координат 
по оси 
, происходят колебания с частотой 
по оси 
— с частотой 
. Произвольные колебательные движения груза естественно представлять как результат наложения колебаний с двумя разными частотами в двух главных направлениях.
По формулам (172.1) в рассматриваемом случае мы получаем:
Это не что иное, как формулы преобразования координат при переходе от осей 
к осям 
значит, главные координаты системы — это составляющие вектора перемещения по осям 
умноженные на постоянную величину 
.
В общем случае произвольной упругой системы главные координаты не находят такого простого и наглядного истолкования, если не прибегать к геометрической интерпретациипри помощи многомерного пространства. Однако значение их полностью сохраняется.
