§ 25. Общие соображения о расчете стержневых систем.

Рассмотренные здесь примеры статически неопределимых систем являются простейшими. В технике встречаются значительно более сложные системы, состоящие из растягиваемых и сжимаемых стержней, так называемые фермы. Под фермой мы понимаем стержневую систему, элементы которой соединены шарнирами, обеспечивающими свободный поворот. Внешние силы должны также быть приложены в шарнирах; если же какая-либо сила приложена к стержню, то для того, чтобы не было изгиба, а было только растяжение или сжатие, необходимо, чтобы эта сила была направлена по оси стержня, в противном случае неизбежен изгиб. Простейшая ферма была изображена на рис. 16, причем в соответствующем месте была сделана оговорка о том, что, хотя крепления стержней в узлах и не обеспечивают поворота их концов, при расчете можно считать с достаточной степенью точности, что в узлах устроены шарниры. Точное выяснение этого обстоятельства будет возможно лишь впоследствии.

Ограничение, относящееся к способу приложения внешних нагрузок, наоборот, совершенно обязательно. Если ферма статически определима, усилия в стержнях могут быть найдены по правилам статики, аналитически или графически. После этого расчет сводится к проверке выполнения условий прочности для каждого стержня.

Если ферда статически неопределима, принципиальная схема расчета остается той же, какая была сформулирована в начале этого параграфа: составляются геометрические уравнения, связывающие возможные удлинения стержней при произвольных перемещениях узлов фермы, после чего мысленно вырезаются узлы и для каждого узла составляются уравнения равновесия. Технически выполнение этого расчета оказывается довольно сложным, основная трудность состоит в составлении уравнений совместности деформаций.

Различные приемы для этой цели излагаются в курсах статики сооружений; мы здесь не будем заниматься задачами такого рода, потому что некоторые общие теоремы сопротивления материалов, излагаемые в гл. XII этого курса, позволяют с большой легкостью решать всевозможные статически неопределенные задачи, в том числе и относящиеся к расчету ферм.

Напомним только правило, относящееся к установлению степени статической неопределимости плоской фермы. Пусть число стержней плоской фермы есть , число узлов есть для каждого вырезанного узла можно составить два уравнения статики, всего уравнений. Но система внешних сил предполагается уравновешенной, значит, три условия равновесия фермы в целом выполняются тождественно. Эти условия равновесия можно получить, исключая из уравнений усилия в стержнях, значит, из уравнений вытекают три тождества; итак, число независимых уравнений есть Степенью статической неопределимости системы назовем разность между числом неизвестных и числом уравнений статики.

Таким образом, для плоской фермы

Аналогично для пространственной фермы

Если система статически определима. Если , система статически неопределима. Так, например, для фермы, изображенной на рис. 16, , следовательно, .

Покажем, что всегда полное число уравнений равно числу неизвестных, то есть число независимых уравнений совместности деформаций равно .

Предположим, что узлы плоской фермы получили произвольные смещения в ее плоскости. Разлагая перемещения каждого узла на две составляющие по осям координат, найдем, что для задания перемещений всех узлов нужно задать величин. Но не все перемещения узлов связаны с удлинением или укорочением стержней, узлы могут перемещаться вследствие движения фермы как твердого тела. Перемещение твердого тела в плоскости задается тремя величинами, например компонентами поступательного перемещения и углом поворота. Поэтому можно считать, что один узел неподвижен и один из стержней, выходящих из этого узла, не поворачивается. Всего остается перемещения. Удлинение каждого из стержней выражается через эти перемещения; исключая их, найдем, что удлинения связаны между собою соотношениями, число которых

равно степени статической неопределимости системы. Если система представляет собою механизм и равновесие возможно только при специально подобранных значениях внешних сил.