§ 42. Закон Гука для главных осей.
Перейдем теперь к установлению тех соотношений, которые связывают напряжения и упругие деформации в сложном напряженном состоянии. Ограничимся рассмотрением изотропных материалов, как и ранее, для растяжения или сжатия. Рассмотрим элемент, вырезанный из тела и имеющий форму параллелепипеда, ребра которого направлены по главным осям (рис. 52).
Рис. 52.
Направленное по главной оси 1 ребро, длина которого до приложения нагрузки была а, получает удлинение 
следовательно, относительная деформация в направлении оси 1 будет 
. Аналогично 
. Подсчитаем удлинение 
пользуясь законом Гука для продольной и поперечной деформации, а также принципом наложения, состоящим в том, что вследствие линейности закона упругости деформации от действия различных систем сил можно определять по отдельности и потом складывать. Представим удлинение 
, как сумму трех удлинений:
Здесь 
— деформация от напряжения 
— от 
. Напряжение 
, действует в том же направлении, в каком ищется удлинение, поэтому
Направление 1 по отношению к 
и 
является поперечным, поэтому при вычислении 
мы воспользуемся законом Гука для поперечной деформации:
Складывая, получим:
Две последние формулы написаны по аналогии, получают их точно таким же путем, как и первую. Формулы (42.1) представляют собою закон Гука для пространственного напряженного состояния.
