§ 168. Примеры определения предельной нагрузки кинематическим методом.

Кинематический метод значительно более прост и удобен для применения, чем статический метод, и поэтому находит гораздо более широкое применение. Рассмотрим два простых примера.

а) Жесткий брус (рис. 249) подвешен на четырех стержнях с различными сечениями или из разных материалов; таким образом, усилия предела текучести для них равны соответственно.

Сила Р приложена в середине бруса. Для перехода системы в состояние текучести необходимо, чтобы три стержня были в пластическом состоянии, а четвертый оставался жестким. Рассмотрим соответствеиио четыре возможности, когда деформация происходит в результате поворота относительно точек А, В, С и D. Очевидно, нужно рассматривать только такие состояния, когда сила Р при повороте совершает положительную работу. Соответствующие схемы показаны на рис. 250, а, б, в и г.

Рис. 249.

Рис. 250.

Уравнение работ в этом случае тождественно с уравнением моментов. В случае а мы получаем:

В случае б:

В случае в:

и, наконец, в случае г:

Таким образом, для четырех кинематически возможных состояний мы получили четыре значения для предельной нагрузки:

Теперь остается подставить числовые вначения пределов текучести для стержней и выбрать наименьшее из четырех значений силы Р, это и будет истинная предельная нагрузка. Остальные три значения силы Р соответствуют состояниям кинематически возможным, но невозможным статически. Дело в том, что при этом усилие в стержне, который предполагался жестким, остается превышающим предел текучести для этого стержня.

б) В качестве второго примера рассмотрим ту же самую двухпролетную неразрезную балку, которая была рассчитана статическим методом в § 165. Зададимся координатой пластического шарнира в пролете (рис. 251). Рассматривая половину балки, найдем, что работа внешней нагрузки равна произведению этой нагрузки на площадь треугольника ADB, то есть равна . Момент в пролете совершает работу на угловом перемещении момеит на опоре — на угловом перемещении , но на каждый пролет приходится лишь половина этой работы. Таким образом,

Рис. 251.

Заметим, что сократив на и введя безразмерную нагрузку так же, как это было сделано в § 165, получим:

Условие минимума нагрузки приводит к уравнению для §:

Отсюда

(второй корень не имеет смысла).

Соответствующее значение нагрузки

совпадает с величиной, найденной при помощи статического метода. Для решения этой задачи в § 121 был применен, по существу, также кинематический метод.

Без строгого обоснования кинематический метод применялся в сопротивлении материалов достаточно давно и довольно широко.

Многочисленные приближенные способы расчета, основанные на гипотезах частного характера, находят обоснование при помощи теоремы, доказанной в предыдущем параграфе. Так, если внимательно посмотреть главу IV, посвященную главным образом условным расчетам, станет очевидно, что эти условные расчеты основываются на допущении определенной кинематической схемы разрушения и, следовательно, дают верхнюю оценку для предельной нагрузки. Вводимый в расчет запас прочности необходим именно потому, что мы получаем верхнюю оценку и не знаем при этом, насколько она превышает истинную величину нагрузки. Положение становится более определенным в том случае, когда для одной, и той же задачи имеются приближенные решения, полученные как статическим, так и кинематическим методом, тогда мы имеем двухстороннюю оценку. Иногда их удается сблизить настолько, что поиски точного решения теряют смысл. Однако нахождение статических решений более трудно, и мы располагаем точными оценками лишь для немногих задач.