ГЛАВА XIII. ТРУБЫ И ДИСКИ
§ 143. Толстостенные трубы. Дифференциальные уравнения равновесия и совместности.
Рассмотрим толстостенную трубу, нагруженную внутренним (или внешним) давлением (рис. 220).
Введем цилиндрические координаты 
и выделим элемент объема с измерениями 
. Этот элемент изображен отдельно на рис. 221. Вследствие симметрии на грани элемента действуют только нормальные напряжения, которые мы обозначим 
. На рис. 221 показаны силы, действующие на элемент.
Рис. 220.
Рис. 221.
Проектируя все силы на направление биссектрисы, угла 
и приравнивая сумму проекций нулю, составим следующее уравнение равновесия элемента:
Сокращая дифференциалы, получим:
(143.1)
Уравнение (143.1) можно переписать также в следующем виде:
(143.2)
Обратимся к рассмотрению деформаций того же элемента, для которого мы составили уравнение равновесия. Обозначим через 
радиальное перемещение точки, находящейся на расстоянии 
от оси (точки 
и q на рис. 221). Элемент 
займет положение 
(рис. 222); если дуга 
равнялась 
дуга 
равна 
. Относительное удлинение элемента 
мы обозначим через 
причем
Рис. 222.
Точка 
после деформации перейдет в положение 
, перемещение ее 
есть 
. Относительное удлинение отрезка 
мы обозначим 
. Величина его
Главные удлинения 
, оказываются выраженными через одну только функцию 
. Таким образом, они не независимы, а связаны соотношением, которое называется уравнением совместности деформаций. Чтобы получить это уравнение, умножим (143.3) на 
, продифференцируем и вычтем (143.4). Получим:
(143.5)
Другая форма записи уравнения совместности деформаций:
(143.6)
Сравнивая (143.1) и (143.5) или соответственно (143.2) и (143.6), мы обнаруживаем известную внешнюю аналогию уравнения равновесия и уравнения совместности.
План дальнейшего решения задачи для упругой трубы состоит в том, чтобы воспользоваться уравнениями закона Гука и выразить либо напряжения через деформации, либо деформации через напряжения. Но здесь мы встречаемся с необходимостью принять во внимание напряжение 
и деформацию 
которые не вошли ни в уравнение равновесия, ни в уравнение совместности. Если труба достаточно длинная, то плоские сечения трубы, перпендикулярные ее оси, будут оставаться плоскими.
Основания для применения в этом случае гипотезы плоских сечений те же самые, что и для растянутых или сжатых стержней. Для бесконечно длинной трубы все сечения находятся в совершенно одинаковых условиях и нет оснований ожидать, что сечение искривится при деформации в том или ином направлении, так как предпочтительного направления вдоль оси z не существует. Для трубы конечной длины справедлив принцип Сен-Венана. Поэтому осевая деформация 
для всей трубы, за исключением области, непосредственно примыкающей к ее концам, должна считаться постоянной. Это справедливо как в упругом, так и в пластическом состоянии трубы.
